[論文レビュー] On Symmetric Sets of Projectors for Reconstruction of a Density Matrix

Alexander Yu. Vlasov|ArXiv.org|Feb 10, 2003

Quantum optics and atomic interactions参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限次元量子系における密度行列の再構成に、Weyl行列ペアを用いた射影子の対称的構成を提示する。素数次元では、互いに偏りのない対称的射影子集合を $(n+1)n$ 個得られ、従来の手法よりもより正則で完全な枠組みを提供する。この構成は、分離可能性およびロバストネス解析への応用を含む。

ABSTRACT

In this work are presented sets of projectors for reconstruction of a density matrix for an arbitrary mixed state of a quantum system with the finite-dimensional Hilbert space. It was discussed earlier [quant-ph/0104126] a construction with (2n-1)n projectors for the dimension n. For n=2 it is a set with six projectors associated with eigenvectors of three Pauli matrices, but for n>2 the construction produces not such a `regular' set. In this paper are revisited some results of previous work [quant-ph/0104126] and discussed another, more symmetric construction with the Weyl matrix pair (as the generalization of Pauli matrices). In the particular case of prime n it is the mutually unbiased set with (n+1)n projectors. In appendix is shown an example of application of complete sets for discussions about separability and random robustness.

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間における射影子の集合を用いた、密度行列再構成のより対称的かつ構造的な手法の開発。
• Qubitに用いられるパウリ行列構成を、Weylユニタリペアを用いて高次元系へ一般化すること。
• 任意の有限次元において、完全で対称的かつ互いに偏りのない射影子集合が構成可能な条件の確立。
• これらの射影子集合を、合成系における量子分離可能性およびランダムロバストネス解析に応用すること。
• 特に非素数次元における、このような集合の最小サイズと構造的正則性の調査。

提案手法

• Weylユニタリペア $(\tilde{U}, \tilde{V})$ を用い、$k,l = 0, \text{ to } n-1$ の範囲で $\tilde{U}^k \tilde{V}^l$ の固有ベクトルから対称的射影子集合を生成する。
• 素数 $n$ に対して、$N = (n+1)n$ 個の完全な射影子集合を構成し、相互に偏りのない基底（MUB）集合を形成する。
• 線形写像 $\tilde{\rho} \to \text{Tr}(\tilde{P}_\beta \tilde{\rho})$ を用いて密度行列から確率を抽出し、逆写像により再構成を可能にする。
• 任意のエルミート行列が射影子の実係数線形結合として表現可能であるという定理を用い、集合の代表的性質を保証する。
• 射影子集合のテンソル積構造を用いて、結果を合成量子系へ拡張する。
• 任意の密度行列を $\tilde{\rho} = \bar{\rho}_s - \beta \bf{1}$ の形に再書き換え可能であり、$\bar{\rho}_s$ は分離可能であり、$\beta \to 0$ は最小のランダムロバストネスに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $(2n-1)n$-射影子スキームを越えて、より対称的かつ正則な密度行列再構成のための射影子構成が可能か？
• RQ2 どの次元 $n$ において、$n(n+1)$ 個の完全で対称的かつ相互に偏りのない射影子集合が存在するか？
• RQ3 Weyl行列ペアを用いて、任意の有限次元ヒルベルト空間において、対称的かつ完全な射影子集合を生成できるか？
• RQ4 このような対称的射影子集合を用いて、合成量子系における分離可能性およびランダムロバストネスの構成的証明が可能か？
• RQ5 合成次元 $n = \text{product}(p_k)$ に対して、$\text{product}(p_k + 1)$ より小さい集合サイズを達成可能か、かつ完全性または対称性を維持できるか？

主な発見

• 素数 $n$ に対して、Weylユニタリペアを用いて、$n(n+1)$ 個の対称的かつ相互に偏りのない射影子集合を構成可能であり、完全で最適な集合を形成する。
• この構成は、Qubitの場合（パウリ行列から6個の射影子）を高次元に一般化し、より正則で対称的な構造を提供する。
• 射影子集合は代表的であり、任意のエルミート行列が確率 $p_\beta = \text{Tr}(\tilde{P}_\beta \tilde{\rho})$ から再構成可能である。
• 完全な射影子集合により、任意の密度行列を $\tilde{\rho} = \tilde{\rho}_s - \beta \bf{1}$ の形に再書き換え可能であり、$\tilde{\rho}_s$ は分離可能で、$\beta \to 0$ は最小のランダムロバストネスに対応する。
• 本手法により、任意の有限次元合成系における分離可能性分解定理の構成的証明が可能になる。
• 非素数 $n$ に対しては対称的構造がやや正則でないが、素因数へのテンソル積分解により完全な集合を依然として構成可能である。