[論文レビュー] On symmetries of constant mean curvature surfaces

Josef F. Dorfmeister, Guido Haak|ArXiv.org|Mar 14, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、単連結なリーマン面から R³ への全射的定則的平均曲率 (CMC) 嵪合の対称性を調査し、普遍被覆の自己同型群、リーマン面の自己同型群、および埋め込まれた曲面の空間的対称性の間の関係に注目する。特定の条件下、特に DPW 法によるメロモルフィックポテンシャルから得られる埋め込みの場合、空間的対称性が普遍被覆の正則自己同型に引き上げられることを確立し、ポテンシャルおよびモノドロミーの構造を通じてそのような対称性を分類する。

ABSTRACT

We start the investigation of immersions $Ψ$ of a simply connected domain $D$ into three dimensional Euclidean space $R^3$, which have constant mean curvature (CMC-immersions), and allow for a group of automorphisms of $D$ which leave the image $Ψ(D)$ invariant. On one hand, this leads to a detailed description of symmetric CMC-surfaces and the associated symmetry groups. On the other hand, it allows us to start the classification of CMC-immersions of an arbitrary, compact or noncompact Riemann surface $M$ into $R^3$ in terms of Weierstrass-type data, as introduced by Pedit, Wu, and one of the authors [D]. We use our general results to prove, that there are no CMC-tori or Delaunay surfaces in the dressing orbit of the cylinder. As an example, we apply the discussion to Smyth surfaces and to a CMC-surface with a branchpoint.

研究の動機と目的

• 全射的定則的 CMC 嵪合 Ψ:D→R³ に対する空間的対称性群 AutΨ(D) の構造を理解すること。
• 空間的対称性を、普遍被覆 D の正則自己同型および基盤となるリーマン面 M の自己同型に関連付けること。
• DPW 法およびモノドロミーを用いて、空間的対称性がいつ AutΨ(D) の自己同型に引き上げられるかを特徴付けること。
• 分岐点および回転対称性を有する例（例えばスミス表面や、極または零点を有するメロモルフィックポテンシャルを持つ表面）を分析すること。

提案手法

• DPW 法を用いて、普遍被覆 D 上のメロモルフィック接続およびポテンシャルによる CMC 嵪合の表現を行う。
• AutΨ(D) に属する自己同型における計量およびホフ微分の変換性を分析し、対称性の引き上げに必要な条件を導出する。
• モノドロミー表現を適用して、D の正則自己同型が画像曲面の空間等長写像に引き上げられるかどうかを特定する。
• 普遍被覆 C を考案し、1つの特異点を有する回転対称性を持つ表面（例えば、次数 m の umbilic を有するもの）の明示的ポテンシャルを構成する。
• 分岐点を有する表面を、分岐集合を除いて分析し、穿孔された被覆上の誘導されたポテンシャルを検討する。
• 座標変換（例：w = e^w̃）を用いて、ポテンシャルを普遍被覆の言語に表現し、基本群を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍被覆 D の正則自己同型が、CMC 表面 Ψ(D) の空間等長写像に引き上げられる条件は何か？
• RQ2 CMC 嵪合 Φ:M→R³ に対して、自己同型群 AutM、AutD、AutΨ(D) の関係は何か？
• RQ3 モノドロミー表現が CMC 表面の空間的対称性を決定する役割は何か？
• RQ4 零点または極を有するメロモルフィックポテンシャルは、回転的または平行移動的不変性などの空間的対称性の存在とどのように関係するか？
• RQ5 分岐点を有する CMC 表面の基本群の構造は何か？また、それは普遍被覆上のポテンシャルにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非退化的なスミス表面は、m=0 かつ |c|≠1 のときにかつそのときに限り存在する。ここで m は特異点の次数、c はポテンシャル内のパラメータである。
• C 上のポテンシャル ξ=λ⁻¹((0 z−z₀; 1 0))dz は、f(z)=z−z₀ がメロモルフィック関数の平方でないにもかかわらず、1つの分岐点を有する正則的 CMC 嵪合を与える。
• 普遍被覆上では、ポテンシャルは ξ̃=λ⁻¹((0 e²w̃; e^w̃ 0))dw̃ に変換され、基本群は写像 w̃↦w̃+2πi によって生成される。
• ポテンシャルの自己同型による挙動が、正則自己同型が空間等長写像に引き上げられるかどうかを決定する。これはモノドロミー表現によって支配される。
• 分岐点を有する表面に対して、正しいポテンシャルは指数写像による引き戻しによって得られ、対応するモノドロミーは対称性群を符号化する。
• 群 AutΨ(D) は、ポテンシャルを保存し、空間等長写像に引き上げられる AutD の部分群と同型であり、複素解析的対称性と幾何的対称性を結びつける。