[論文レビュー] On symmetries of the Strassen algorithm

V. P. Burichenko|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ストラッセンの行列乗算アルゴリズムの対称性構造を分析し、非自明な自己同型群（位数36、拡張版では72）を有することを示している。この群は3つの元の対称群の直積に同型である。この大きな対称性群は、3×3行列乗算の最適アルゴリズムに対しても顕著な対称性を示す可能性を示唆し、その発見に幾何学的および群論的戦略を用いる有望な道筋を提供する。

ABSTRACT

We consider the famous Strassen algorithm for fast multiplication of matrices. We show that this algorithm has a nontrivial finite group of automorphisms of order 36 (namely the direct product of two copies of the symmetric group on 3 symbols), or even 72, if we consider "extended" Strassen algorithm. This is an indirect evidence that the (unknown at present) optimal algorithm for multiplication of two size 3 by 3 matrices also may have a large automorphism group, and this may be a fruitful idea for a search of such an algorithm. In the beginning we give a brief introduction to the subject, to make the text accessible for specialists in the representation theory of finite groups.

研究の動機と目的

• ストラッセンの2×2行列乗算アルゴリズムの自己同型群を調査し、隠れた対称性を解明すること。
• ストラッセンのアルゴリズムに大きな自己同型群が存在するという事実が、3×3行列乗算の最適アルゴリズムの探索に構造的ヒントを提供するかどうかを検討すること。
• 最小乗算数アルゴリズムの探索において、群論的および表現論的手法を用いる動機を提示すること。
• ストラッセンアルゴリズムの自己同型群が $ S_3 \times S_3 $ に同型であり、位数36（拡張版では72）であることを確立すること。
• 将来の最適アルゴリズム探索において、大きな自己同型群を仮定し、それを活用する戦略をガイドラインとして採用すべきであると提言すること。

提案手法

• 2次元ベクトル空間 $ V $ を用いて、ストラッセンのアルゴリズムを空間 $ V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* $ に表現する。
• 集合 $ \widetilde{\mathcal{S}} $ を、セグレ多様体と、2つの特別なテンソル $ -S(2,2,2) $ および $ \delta^\otimes 3 $ の和集合として定義する。これらはそれぞれストラッセン成分と恒等成分を表す。
• 自己同型群 $ \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathcal{S}}) $ を、$ \widetilde{\mathcal{S}} $ を集合として保存する線形変換の群として定義する。
• 準射影を用いて自己同型の作用を部分空間に分析し、テンソル因子への誘導された置換に制約を特定する。
• 自己同型群が2つの操作集合によって生成されることを証明する：$ \widetilde{A}_2, \widetilde{A}_3 $（因子の置換と双対化）および $ \widetilde{B}_1, \widetilde{B}_2 $（個々の因子に作用する操作）。
• 安定化部分群とスカラー作用の詳細な解析を通じて、全自己同型群が $ S_3 \times S_3 $ に同型であり、位数36（拡張版では72）であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストラッセンの2×2行列乗算アルゴリズムの自己同型群の大きさと構造は何か？
• RQ2 ストラッセンのアルゴリズムに大きな自己同型群が存在することは、3×3行列乗算の最適アルゴリズムの探索に構造的ヒントを与えるか？
• RQ3 最適な行列乗算アルゴリズムが保存する幾何学的または群論的不変量は何か。それらはその構築をガイドする手がかりとなるか？
• RQ4 ストラッセンのアルゴリズムの自己同型群は、既知の有限群に同型であるか。もしそうなら、どの群か？
• RQ5 ストラッセンのアルゴリズムの自己同型群は拡張可能か。その場合、アルゴリズムの構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ストラッセンアルゴリズムの自己同型群は $ S_3 \times S_3 $ に同型であり、位数36の有限群である。
• 拡張ストラッセンアルゴリズムを考慮すると、自己同型群の位数は72に増大し、追加の対称性が存在することを示している。
• 自己同型群は、アルゴリズムの基本的テンソル表現における6つのテンソル因子に対して、置換と双対性を介して作用する。
• 群の構造は、関与する2次元ベクトル空間における置換対称性と双対写像の相互作用から生じる。
• 自己同型群はセグレ多様体および2つの特別なテンソル $ -S(2,2,2) $ と $ \delta^\otimes 3 $ を保存する。これらはそれぞれアルゴリズム成分と恒等成分を符号化している。
• 全自己同型群は4つの操作によって生成される：2つはテンソル因子の置換と双対化を行い、残りの2つは個々の因子にスカラー自由度を伴って作用する。