[論文レビュー] On systems with finite ergodic degree

Stefano Isola|ArXiv.org|Aug 4, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、可 summable でない変動を持つポテンシャルを持つ系を分類するためのエルゴドリック次数 $ d $ の概念を導入し、$ d > 0 $ の場合、平衡測度の混合速度が $ n^{-d} $ のように多項式的に減少することを確立している。一方、$ d \leq 0 $ の場合、不変測度は無限大であり、スケーリングレートは $ n^d $ である。解析には誘導手続きと作用素値べき級数を用い、スペクトル性質と力学的ゼータ関数、相関関数の崩壊を関連づけている。

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory of a class of symbolic dynamical systems $(Ø, T, μ)$ where $T:Ø o Ø$ the left shift transformation on $Ø=\prod_0^\infty\{0,1\}$ and $μ$ is a $\s$-finite $T$-invariant measure having the property that one can find a real number $d$ so that $μ(τ^d)=\infty$ but $μ(τ^{d-ε})0$, where $τ$ is the first passage time function in the reference state 1. In particular we shall consider invariant measures $μ$ arising from a potential $V$ which is uniformly continuous but not of summable variation. If $d>0$ then $μ$ can be normalized to give the unique non-atomic equilibrium probability measure of $V$ for which we compute the (asymptotically) exact mixing rate, of order $n^{-d}$. We also establish the weak-Bernoulli property and a polynomial cluster property (decay of correlations) for observables of polynomial variation. If instead $d\leq 0$ then $μ$ is an infinite measure with scaling rate of order $n^d$. Moreover, the analytic properties of the weighted dynamical zeta function and those of the Fourier transform of correlation functions are shown to be related to one another via the spectral properties of an operator-valued power series which naturally arises from a standard inducing procedure. A detailed control of the singular behaviour of these functions in the vicinity of their non-polar singularity at $z=1$ is achieved through an approximation scheme which uses generating functions of a suitable renewal process. In the perspective of differentiable dynamics, these are statements about the unique absolutely continuous invariant measure of a class of piecewise smooth interval maps with an indifferent fixed point.

研究の動機と目的

• 非可summable 変動を持つポテンシャルを持つ記号的力学系のエルゴドリックおよび混合性を特徴づけること。
• 最初の通過時間関数の有限モーメントの数を制御する連続的パラメータとしてのエルゴドリック次数 $ d $ を定義し、その分析を行うこと。
• 無限不変測度 ($ d \leq 0 $) の正確な漸近的スケーリングレートと、有限平衡測度 ($ d > 0 $) の混合速度を確立すること。
• 誘導手続きから導かれる作用素値べき級数のスペクトル性質と、力学的ゼータ関数および相関関数の特異性との関係を明らかにすること。
• 区間写像における包あい固定点をもつ系にこの枠組みを適用し、既知の混合性およびスケーリング行動に関する結果を回復し、より鋭くすること。

提案手法

• 局所ホルダー連続関数の上で作用する作用素値べき級数 $ \mathcal{M}_z $ を導入し、そのスペクトル性質が元の系の転送作用素と関連することを示す。
• 標準的な誘導手続きを用いて $ \sigma $-有限不変測度 $ \mu $ を構成し、エルゴドリック次数 $ d $ を $ \mu(\tau^d) $ の発散閾値として定義する。
• 漸近的挙動を制御するための再生過程近似を用い、$ z \uparrow 1 $ のときの $ (1 - \mathcal{M}_z)^{-1} $ を、通過時間の母関数と関連付ける。
• スペクトル解析を通じて、相関関数のフーリエ変換と力学的ゼータ関数との対応関係を確立する。
• べき級数のタウーバー型定理を用い、$ z = 1 $ の近傍での振る舞いから、相関列およびゼータ関数の正確な漸近的挙動を導出する。
• 区間写像に理論を適用し、微分の変動に関する明示的見積もりを用いて $ d = \frac{1}{s} - 1 $ を計算し、スケーリング法則を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴドリック次数 $ d $ は、非可summable 変動を持つ系における相関の崩壊と混合速度をどのように制御するか？
• RQ2 このような系における最初の通過時間分布およびそのモーメントの正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 力学的ゼータ関数の特異性と相関関数のフーリエ変換の特異性は、誘導された転送作用素のスペクトル性質とどのように関係するか？
• RQ4 誘導手続きと再生近似を用いて、無限不変測度の正確なスケーリング法則を導出することはどの程度可能か？
• RQ5 エルゴドリック次数は、有限測度の場合の弱ベルヌーイ性と相関関数の多項式的崩壊にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $ d > 0 $ の場合、一意の非原子的平衡確率測度は $ n^{-d} $ のオーダーで混合速度を示し、多項式的変動を持つ観測量についても相関の多項式的崩壊を示す。
• $ d > 0 $ の場合、系は弱ベルヌーイ性を満たし、指数的混合性に欠けるにもかかわらず、強い確率的挙動を示すことが確認される。
• $ d \leq 0 $ の場合、不変測度は無限大であり、$ \mu(E \cap T^{-n}E) $ のスケーリングレートは漸近的に $ n^d $ である。正確な漸近的挙動は、$ s > 1 $ のとき $ \sim c_1 n^{-1+1/s} $、$ s = 1 $ のとき $ \sim c_2 (\log n)^{-1} $、$ 0 < s < 1 $ のとき $ \sim c_3 n^{1-1/s} $ である。
• 力学的ゼータ関数は $ z = 1 $ に非極的特異点を持ち、その振る舞いは近似再生過程の母関数によって決定される。
• 区間写像で $ G(x) \sim x^s $ が 0 の近傍で成り立つ場合、エルゴドリック次数は $ d = \frac{1}{s} - 1 $ であり、指数 $ \gamma \geq 1 - s $ のホルダー観測量についての混合速度は $ \mathcal{O}(n^{1-1/s}) $ である。
• 漸近的同値 $ \rho(A_n) \sim h(0) r (r s n)^{-1 - 1/s} $ を用いることで、正確なタウーバー型解析が可能となり、相関列に対して正確なべき則的または対数的崩壊が得られる。