[論文レビュー] On Syzygies of ruled varieties over a curve

Euisung Park|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲線 $C$ 上のルールド多様体 $X = \mathbb{P}_C(\mathcal{E})$ のサイジージを調査し、その纤维のヴェロネーゼ埋込に基づいて、ラインバンドル $aH + \pi^*B$ が性質 $N_p$ を満たすための条件を確立する。$n$-次のヴェロネーゼ埋込が $N_p$ を満たすならば、十分に正の $B$ に対して $X$ に対しても $N_p$ が成り立つことが示され、$\operatorname{rank}(\mathcal{E}) \geq g$ かつ $\mu^-(\mathcal{E})$ が整数であるとき、Mukaiの予想が $X$ に対して確認され、明示的な構成により最適な境界が示された。

ABSTRACT

For a vector bundle $\mathcal{E}$ of rank $n+1$ over a smooth projective curve $C$ of genus $g$, let $X=¶_C (\mathcal{E})$ with projection map $\pi:X o C$. In this paper we investigate the minimal free resolution of homogeneous coordinate rings of $X$. We first clarify the relations between higher syzygies of very ample line bundles on $X$ and higher syzygies of Veronese embedding of fibres of $\pi$ by the same line bundle. More precisely, letting $H = \mathcal{O}_{¶_C (\mathcal{E})} (1)$ be the tautological line bundle, we prove that if $(¶^n,\mathcal{O}_{¶^n} (a))$ satisfies Property $N_p$, then $(X,aH+\pi^*B)$ satisfies Property $N_p$ for all $B \in {Pic}C$ having sufficiently large degree(Theorem ef{thm:positive}). And also the effective bound of ${deg}(B)$ for Property $N_p$ is obtained(Theorem ef{thm:1}, ef{thm:2}, ef{thm:3} and ef{thm:4}). For the converse, we get some partial answer(Corollary ef{cor:negative}). Secondly, by using these results we prove some Mukai-type statements. In particular, Mukai's conjecture is true for $X$ when ${rank}(\mathcal{E}) \geq g$ and $\mu^- (\mathcal{E})$ is an integer(Corollary ef{cor:Mukai}). Finally for all $n$, we construct an $n$-dimensional ruled variety $X$ and an ample line bundle $A \in {Pic}X$ which shows that the condition of Mukai's conjecture is optimal for every $p \geq 0$.

研究の動機と目的

• ルールド多様体上の非常に豊富なラインバンドルの高次サイジージと、その纤维のヴェロネーゼ埋込のサイジージの関係を明確化すること。
• ラインバンドル $B \in \operatorname{Pic} C$ の有効な次数の境界を特定し、$aH + \pi^*B$ が性質 $N_p$ を満たす条件を求める。
• 主な正性結果の部分的な逆を提供し、逆方向への制限を同定すること。
• 特にランクとスロープの条件の下で、ルールド多様体に対するMukai型の主張を証明すること。
• すべての $p \geq 0$ に対して、Mukaiの予想の条件が最適であることを示す、$n$-次元のルールド多様体とアーモニックラインバンドルの構成を行うこと。

提案手法

• 多様体 $X$ を射影空間に埋込するための標準ラインバンドル $H = \mathcal{O}_{\mathbb{P}_C(\mathcal{E})}(1)$ の使用。
• $X$ の斉次座標環の最小自由分解を用いたサイジージの分析により、纤维ごとのヴェロネーゼ埋込と関連付ける。
• 性質 $N_p$ の理論を応用し、全空間 $X$ とその纤维間のサイジージ的性質を比較する。
• ヴェロネーゼ埋込 $\mathbb{P}^n$ の挙動に基づき、$aH + \pi^*B$ が $N_p$ を満たすような $B \in \operatorname{Pic} C$ の有効な次数の境界を確立する。
• Mukaiの予想が成り立つ条件を特定するため、スロープ不変量 $\mu^-(\mathcal{E})$ を用いる。特に $\mu^-(\mathcal{E})$ が整数である場合に注目する。
• すべての $p \geq 0$ に対して、条件の鋭さを示すために、明示的な $n$-次元のルールド多様体とアーモニックラインバンドルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $B \in \operatorname{Pic} C$ がどのような条件下でラインバンドル $aH + \pi^*B$ が性質 $N_p$ を満たすか。
• RQ2 ルールド多様体 $X = \mathbb{P}_C(\mathcal{E})$ のサイジージは、その纤维のヴェロネーゼ埋込のサイジージとどのように関係するか。
• RQ3 主な正性結果をどの程度逆転させることができ、その逆方向にはどのような制限があるか。
• RQ4 $\operatorname{rank}(\mathcal{E}) \geq g$ かつ $\mu^-(\mathcal{E})$ が整数であるとき、Mukaiの予想はルールド多様体 $X = \mathbb{P}_C(\mathcal{E})$ に対して成り立つか。
• RQ5 Mukaiの予想の条件はすべての $p \geq 0$ に対して最適であるか。また、明示的な構成によりその最適性を示せるか。

主な発見

• $n$-次のヴェロネーゼ埋込 $\mathbb{P}^n$ が性質 $N_p$ を満たすならば、すべての $B \in \operatorname{Pic} C$ に対して十分に大きな次数を持つ場合、$aH + \pi^*B$ は $N_p$ を満たす。
• 定理~\ref{thm:1}、~\ref{thm:2}、~\ref{thm:3}、および~\ref{thm:4} において、$aH + \pi^*B$ が $N_p$ を満たすような $B$ の有効な次数の境界が明示的に計算されている。
• 主な正性結果に対する部分的な逆が確立され、纤维から全空間への $N_p$-性質の持ち上げには制限があることが示された。
• $\operatorname{rank}(\mathcal{E}) \geq g$ かつ $\mu^-(\mathcal{E})$ が整数であるとき、$X = \mathbb{P}_C(\mathcal{E})$ に対してMukaiの予想が確認された。
• すべての $n$ および $p \geq 0$ に対して、$n$-次元のルールド多様体 $X$ とアーモニックラインバンドル $A \in \operatorname{Pic} X$ を構成し、$A$ がMukaiの予想の条件を満たすが、条件を緩めた場合に $N_p$ を満たさない例が得られ、条件の最適性が証明された。