[論文レビュー] On SZK and PP.

Adam Bouland, Lijie Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、近似次数のための強化されたハードネス増幅定理を用いて、非インタラクティブ統計的ゼロ知識（NISZK）と無制限誤差のランダム化クエリおよび通信複雑性（UPP）の間の新たな分離を確立する。Watrous（2002）が提起した未解決問題を解決し、NISZK ⊆ PP でないようなオракルを構築する。さらに、PZK と coPZK の間、および SZK と PZK の間の分離を示し、性質テストとストリーミング証明に影響を与える。

ABSTRACT

In both query and communication complexity, we give separations between the class NISZK, containing those problems with non-interactive statistical zero knowledge proof systems, and the class UPP, containing those problems with randomized algorithms with unbounded error. These results significantly improve on earlier query separations of Vereschagin [Ver95] and Aaronson [Aar12] and earlier communication complexity separations of Klauck [Kla11] and Razborov and Sherstov [RS10]. In addition, our results imply an oracle relative to which the class NISZK is not contained in PP. This answers an open question of Watrous from 2002 [Aar]. The technical core of our result is a stronger hardness amplification theorem for approximate degree, which roughly says that composing the gapped-majority function with any function of high approximate degree yields a function with high threshold degree. Using our techniques, we also give oracles relative to which the following two separations hold: perfect zero knowledge (PZK) is not contained in its complement (coPZK), and SZK (indeed, even NISZK) is not contained in PZK (indeed, even HVPZK). Along the way, we show that HVPZK is contained in PP in a relativizing manner. We prove a number of implications of these results, which may be of independent interest outside of structural complexity. Specifically, our oracle separation implies that certain parameters of the Polarization Lemma of Sahai and Vadhan [SV03] cannot be much improved in a black-box manner. Additionally, it implies new lower bounds for property testing algorithms with error probability arbitrarily close to 1/2. Finally, our results imply that two-message protocols in the streaming interactive proofs model of Cormode et al. [CTY11] are surprisingly powerful in the sense that, with just logarithmic cost, they can compute functions outside of UPP^CC.

研究の動機と目的

• Watrous（2002）が提起した、オラクル設定下で NISZK が PP に含まれるか否かという未解決問題を解決すること。
• NISZK と UPP 間の従来のクエリおよび通信複雑性の分離を改善すること。
• 完全ゼロ知識（PZK）とその補集合（coPZK）の間、および SZK と PZK の間の新たな分離を確立すること。
• ブラックボックス設定におけるポラライゼーション補題の限界を分析し、高い誤差における性質テストの新たな下界を導出すること。
• 対数コストの2メッセージストリーミングインタラクティブ証明の能力を調査すること。

提案手法

• 近似次数のためのより強いハードネス増幅定理を構築し、ギャップメジャリティ関数を任意の高近似次数関数と合成することで、高閾値次数を持つ関数が得られることを示す。
• この増幅されたハードネスを用いて、NISZK と UPP 間のクエリおよび通信複雑性の分離を構築する。
• 閾値次数の結果を活用し、NISZK が PP に含まれないオラクル、および PZK が coPZK に含まれないオラクルを構築する。
• HVPZK が相対化可能な方法で PP に含まれることを示し、さらなる分離を可能にする。
• この枠組みを応用して、対数コストの2メッセージストリーミングプロトコルが UPP^CC の外側の関数を計算できることを示す。
• ブラックボックス構成の限界を分析することで、ポラライゼーション補題および性質テストに新たな知見を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2002年の未解決問題を解決するため、NISZK がオラクルに関して PP に含まれないか、分離可能か？
• RQ2 従来の知られていたものよりも、NISZK と UPP 間のより強いクエリおよび通信複雑性の分離を達成可能か？
• RQ3 オラクル設定下で、完全ゼロ知識（PZK）はその補集合（coPZK）に真に含まれるか？
• RQ4 オラクルモデル下で、SZK は PZK よりも厳密に強力か？
• RQ5 誤差確率が 1/2 に近づく場合、ポラライゼーション補題および性質テストアルゴリズムの限界は何か？

主な発見

• Watrous（2002）の未解決問題を解決するため、NISZK が PP に含まれないようなオラクルを構築した。
• 近似次数のためのより強いハードネス増幅定理を確立し、ギャップメジャリティ関数を任意の高近似次数関数と合成することで、高閾値次数を持つ関数が得られることを示した。
• オラクル設定下で、PZK と coPZK の間、および SZK と PZK の間の新たな分離を示した。
• HVPZK が相対化可能な方法で PP に含まれることを示し、分離を支持した。
• 2メッセージストリーミングプロトコルが対数コストで計算可能な関数が UPP^CC の外にあることを示し、驚くべき能力を示した。
• 誤差確率が 1/2 に非常に近い場合の性質テストアルゴリズムに対して新たな下界を導出し、ブラックボックス設定下でポラライゼーション補題のパラメータがほぼ最適であることを示した。