[論文レビュー] On Tannaka duality for vector bundles on p-adic curves

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|Jun 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、p進曲線上の次数0のベクトル bundle で、潜在的に強く半安定な還元をもつもののなす圏がアーベル的かつニュートラル Tannakian的であることを確立し、Narasimhan–Seshadri理論のp進版を示している。さらに、有限エタール被覆で自明化されるバンドルを特徴づける Weil の多項式方程式の基準を用いて、Tannaka双対群の連結成分群を計算している。

ABSTRACT

We prove that a category of degree zero vector bundles with "potentially strongly semistable reduction" on a p-adic curve is a neutral Tannakian category. We also make a first study of the corresponding affine group scheme. In particular, we determine its group of connected components using a theorem of Weil.

研究の動機と目的

• 『DW2』で提起された未解決問題、すなわち、p進曲線上の次数0バンドルで潜在的に強く半安定な還元をもつもののなす圏がアーベル的であるかどうかを解明すること。
• この圏がニュートラル Tannakian 圏であることを確立し、Tannaka双対性を可能にする。
• この圏の Tannaka 双対群の連結成分群を計算すること。
• 有限エタール被覆で自明化されるベクトルバンドルを特徴づける Weil の基準を応用し、Tannaka 双対群の構造を解析すること。
• 特に、Picard群の被覆との関係において、Tannaka 双対群の構造、特にそのアーベル化およびプロトーラル成分を調べること。

提案手法

• p進曲線上の次数0のベクトルバンドルで、潜在的に強く半安定な還元をもつもののなす圏 $\mathfrak{B}^{ps}$ を定義する。
• Frobenius引き戻しと半安定性の性質を用いて、$\mathfrak{B}^{ps}$ がアーベル的であり、したがってニュートラル Tannakian 圏であることを証明する。
• Tannaka双対性を適用し、$\mathfrak{B}^{ps}$ にプロ代数的群 $G$ を関連づけ、その中立成分を $G^{0}$ とする。
• 有限エタール被覆で自明化されるバンドルは $\mathbb{Z}$ 上の多項式方程式を満たすという Weil の結果を用い、$\pi_0(G)$、すなわち連結成分群を計算する。
• 直接極限 $ \varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors} $ を用いて、中立成分のアーベル化 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $ を解析し、それがプロトーラスであることを示す。
• Tannaka関手の全忠実性を仮定して、バンドル $E$ の Tannaka 双対群 $G_E$ を、モノドロミー表現 $\rho_{E,x}$ の像のザリスキ閉包と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進曲線上の次数0のベクトルバンドルで、潜在的に強く半安定な還元をもつもののなす圏 $\mathfrak{B}^{ps}$ はアーベル的か？
• RQ2 Tannaka 双対群 $\mathfrak{B}^{ps}$ の構造、特にその連結成分群はいかなるものか？
• RQ3 有限エタール被覆で自明化されるバンドルを特徴づける Weil の基準は、$\mathfrak{B}^{ps}$ の Tannaka 双対群にどのように関係するか？
• RQ4 バンドル $E \in \mathfrak{B}^{ps}_{\mathrm{red}}$ に対して関連づけられる Tannaka 双対群とそのモノドロミー表現 $\rho_{E,x}$ の関係は何か？
• RQ5 Tannaka 双対群のアーベル化および導来部分群は、もとの曲線およびその Picard 群の幾何にどのように反映されるか？

主な発見

• 圏 $\mathfrak{B}^{ps}$ はアーベル的であり、したがってニュートラル Tannakian 圏である。これは『DW2』における未解決問題を解決する。
• Tannaka 双対群 $G^{ps}_{\mathrm{red}}$ の連結成分群 $\pi_0(G^{ps}_{\mathrm{red}})$ は、Weil の多項式方程式基準を用いて計算され、$\varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors}$ に同型である。
• 中立成分の最大アーベル商 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $ は、特徴群が $\varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors}$ であるプロトーラスであり、これはねじれがなく、可除的である。
• バンドル $E \in \mathfrak{B}^{ps}_{\mathrm{red}}$ に対して、Tannaka 双対群 $G_E$ はモノドロミー表現 $\rho_{E,x}$ の像のザリスキ閉包を含み、$\rho_{E,x}$ が半単純であればそれと一致する。
• Tannaka 双対群 $G^{0}$ は $C \cdot (G^{0}, G^{0})$ に分解され、ここで $C$ はプロトーラスであり、$(G^{0}, G^{0})$ はプロ半単純である。また、$X(C) \cong X((G^{0})^{\mathrm{ab}}) \oplus X(H)$ は非標準的に同型である。
• 曲線 $X$ が楕円曲線のとき、$(G,G^{0}) = (G^{0},G^{0})$ であるが、$g(X) \geq 2$ のとき、$(G,G^{0})/(G^{0},G^{0})$ には非自明なプロトーラスが含まれており、これは Picard 群の無限次元性を反映している。