[論文レビュー] On Teichmuller Space of Surface with Boundary

Feng Luo|ArXiv.org|Jan 15, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、理想三角形分割における直角双曲六角形からのE不変量を用いて、境界を持つコンパクトな双曲的な曲面の境界付きテイヒミュラー空間の新しいパラメータ表示を導入する。主な結果は、境界長が固定されたテイヒミュラー空間が、E不変量座標において開凸多面体となること、および線形計画法の双対性から導かれる正値性および三角不等式に類する不等式を満たすE不変量であれば、双曲的計量の存在が保証されることである。

ABSTRACT

We characterization hyperbolic metrics on compact surfaces with boundary using a variational principle. As a consequence, a new parametrization of the Teichmuller space of compact surface with boundary is produced. In the new parametrization, the Teichmuller space becomes an open convex polytope. It is conjectured that the Weil-Petersson symplectic form can be expressed explicitly in terms of the new coordinate.

研究の動機と目的

• 境界長が固定された非空な境界を持つコンパクトな双曲的曲面のテイヒミュラー空間の新しい座標系の構築を目的とする。
• 直角双曲六角形の余弦法則に基づく変分原理を用いて双曲的計量を特徴づけること。
• 新しいE不変量座標において、境界付きテイヒミュラー空間が開凸多面体に微分同相であることを示すこと。
• 線形計画法の双対性を用いて、所定のE不変量を持つ双曲的計量の存在に必要な十分条件を確立すること。

提案手法

• 理想三角形分割の各辺に対して、E不変量を定義する。E不変量とは、向かい合うx-弧の長さの和の半分から、向かい合う辺の長さを引いたものである。
• 双曲的六角形のディログラミット関数および余弦法則から導かれるエネルギー関数を用いて、テイヒミュラー空間をパラメータ表示する。
• 変分原理を適用する：双曲的計量は、E不変量によって定義される凸領域上のエネルギー関数の臨界点に対応する。
• 双曲的計量と正値性および三角不等式に類する不等式を満たすE不変量関数との間の一対一対応を確立する。
• 線形計画法の双対性およびファルカスの補題を用いて、E不変量がすべての本質的単純閉曲線上で正値であるときかつそのときに限り、非空な解空間が存在することを証明する。
• 許容可能なE不変量の空間が、三角形分割の辺数mに対し、R^mにおける開凸多面体をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つコンパクトな双曲的曲面の境界付きテイヒミュラー空間は、理想三角形分割からの幾何的不変量を用いて明示的にパラメータ表示可能か？
• RQ2 E不変量にどのような条件を課すと、それらの不変量を持つ双曲的計量が存在するか？
• RQ3 直角双曲六角形の余弦法則に基づく変分原理は、境界を持つ曲面上の双曲的計量をどのように特徴づけるか？
• RQ4 境界長が固定された境界付きテイヒミュラー空間は、E不変量パラメータ表示のもとで開凸多面体に微分同相か？
• RQ5 予想されているように、Weil-Peterssonのシンプレクティック形式は、新しいE不変量座標で明示的に表現可能か？

主な発見

• 境界長が固定された境界付きテイヒミュラー空間T(S,l)は、理想三角形分割の辺数mに対し、R^mにおける開凸多面体に微分同相である。
• 双曲的計量が曲面上に存在するための必要十分条件は、各六角形セルにおける三角不等式に類する関係から導かれる不等式系をE不変量が満たすことである。
• ディログラミット関数および余弦法則から構成されたエネルギー関数Vは、解空間の閉包上で最大値を達成し、その最大値が内部に存在するのは、双曲的計量が存在する場合に限る。
• E不変量系の解の存在は、測度リーマン分岐の錐D内の非ゼロベクトルyについて∑ y_i z_i > 0である線形汎関数の正値性と同値である。
• E不変量パラメータ表示は、リーボンの閉曲面に関する研究を一般化した、新しい明示的かつ幾何的に意味のある境界付きテイヒミュラー空間の座標系を提供する。
• 許容可能なE不変量の空間は、直角双曲六角形の幾何と三角形分割の構造から導かれる線形不等式によって特徴づけられる。