[論文レビュー] On Temporally Connected Graphs of small cost

Eleni C. Akrida, Leszek Gąsieniec+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、無向グラフにおける時系列的接続性を検証する多項式時間アルゴリズムを提示し、最小限のラベル使用量で時系列的接続性を持つグラフを設計するコスト効率の良い手法を提案する。設計コストがnに比例することは、最適解から2以内で近似的に最適であることを証明し、余分なラベルの削除問題がAPX-hardであることを示し、P=NPでない限り多項式時間近似スキームが存在しないことを示唆する。

ABSTRACT

We study the design and verification of temporal graphs that are temporally connected. We mainly consider undirected graphs of $n$ vertices and follow the model of \cite{kempe}, where each edge has an associated set of discrete availability instances (labels). A journey from vertex $u$ to vertex $v$ is a path from $u$ to $v$ where successive path edges have strictly increasing labels. A graph is temporally connected iff there is a $(u,v)$-journey for any pair of vertices $u,v$. We first give a simple polynomial-time algorithm to check whether a given temporal graph is temporally connected. We then consider the case in which a designer can \emph{freely choose} availability instances for all edges and aims for temporal connectivity a very small \emph{cost}; the cost here is the total number of availability instances used. We achieve this via a simple polynomial-time procedure which derives designs of cost linear in $n$, and at most the optimal cost plus $2$. To show this, we prove a lower bound on the cost for any undirected Next, we consider the case in which a designer could only choose among a pre-specified set of availability instances. She comes to us and says with those availability instances I deliver a temporally connected graph. Here, we first have to verify the correctness of the design. Then our aim is to decrease the cost by removing some labels without destroying temporal connectivity (redundant labels). Our main technical result is that computing the maximum number of labels that are redundant is APX-hard, i.e., there is no PTAS unless $P=NP$. On the other hand, a temporal design may be i.e. all its labels may be needed for temporal connectivity. We partially characterise minimal temporal designs.

研究の動機と目的

• 時系列グラフにおける時系列的接続性を検証する効率的なアルゴリズムの開発。
• 時系列的接続性を保証しつつ、エッジの利用可能インスタンス（ラベル）の合計数を最小化すること。
• 接続性を損なわずに余分なラベルを削除する問題の計算複雑性を特定すること。
• すべてのラベルが接続性に不可欠である最小限の時系列的設計を特徴付けること。

提案手法

• すべての頂点ペア間で、厳密に増加するラベルを持つ旅程が存在するかを確認することで、時系列的接続性を検証する多項式時間アルゴリズム。
• O(n)ラベルを用いて時系列的接続性を持つグラフを構築する単純な手順を提示し、理論的最小値から2以内のコストで近似的に最適な設計を達成。
• 無向グラフにおける最小コストの下界を導出し、最適性の保証を確立。
• 既知のNP困難問題への還元により、余分なラベルの最大数を同定する問題がAPX-hardであることを証明。
• すべてのラベルが必要不可欠であるグラフの構造的性質を特定することで、最小時系列的設計の部分的特徴付けを提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおいて時系列的接続性を達成するために必要な最小ラベル数は何か？
• RQ2 多項式時間手順を用いて、最適に近いコストで時系列的接続性を持つグラフを設計できるか？
• RQ3 余分なラベルを削除する問題は計算的に扱いやすく、あるいはNP困難か？
• RQ4 どのような条件下で、時系列グラフのすべてのラベルが接続性に不可欠となるか？
• RQ5 与えられた時系列グラフ設計が時系列的接続性を満たしているかどうかを効率的に検証できるか？

主な発見

• 時系列グラフにおける時系列的接続性を検証する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• O(n)ラベルを用いた設計を多項式時間で構築でき、そのコストは最適コストより最大2だけ大きい。
• 無向グラフにおける時系列的接続性の最小コストは下界により制限され、理論的限界が確立される。
• 余分なラベルを最大限に削除する問題はAPX-hardであることが示され、P=NPでない限り多項式時間近似スキームが存在しないことを示唆する。
• すべてのラベルが接続性に不可欠である時系列グラフが存在し、最小設計が存在し、それらを特定するのは非自明であることを確認する。