[論文レビュー] On Tensorial Concomitants and the Non-Existence of a Gravitational Stress-Energy Tensor

Erik Curiel|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、自然な物理的および幾何的条件下において、一般相対性理論において局所的重力的ストレssエネルギーテンソルが存在し得ないことを厳密に証明している。微分幾何学およびジャンルバンドル理論を用いて、任意の候補テンソルは計量の同次的付随テンソルでなければならないことが示され、このようなテンソル（例：アインシュタインテンソル）は、時空の曲率が非ゼロであっても消えることがあるため、局所的重力エネルギーを表すには不適切である。

ABSTRACT

The question of the existence of gravitational stress-energy in general relativity has exercised investigators in the field since the inception of the theory. Folklore has it that no adequate definition of a localized gravitational stress-energetic quantity can be given. Most arguments to that effect invoke one version or another of the Principle of Equivalence. I argue that not only are such arguments of necessity vague and hand-waving but, worse, are beside the point and do not address the heart of the issue. Based on a novel analysis of what it may mean for one tensor to depend in the proper way on another, I prove that, under certain natural conditions, there can be no tensor whose interpretation could be that it represents gravitational stress-energy in general relativity. It follows that gravitational energy, such as it is in general relativity, is necessarily non-local. Along the way, I prove a result of some interest in own right about the structure of the associated jet bundles of the bundle of Lorentz metrics over spacetime.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論において局所的重力的ストレスエネルギーテンソルが存在し得るかどうかという長年の問題を解決すること。
• 等価原理に基づく曖昧なヒューリスティックな議論を越えて、重力エネルギーの非局所性に根ざした厳密な幾何的基礎を提供すること。
• 重力的ストレスエネルギーテンソルが存在しうる明確な数学的条件を確立し、それらの条件を満たすものが存在しないことを示すこと。
• 曲率およびテンソルの付随的関係が、一般相対性理論におけるエネルギー運動量表現の文脈で果たす役割を明確にすること。
• 重力エネルギーが存在するならば、幾何的バンドルおよびテンソル不変量の構造に基づいて、それは本質的に非局所的でなければならないことを示すこと。

提案手法

• 時空上のローレンツ計量のバンドルの幾何的構造、およびその一次および二次ジャンルバンドルを分析する。
• 微分幾何学を用いて、計量およびその微分に関数的かつ共変的に依存するテンソルの理論（テンソル的付随的関係）を適用する。
• ロヴェロックの定理および同次的付随的関係の分類を用いて、計量の第二階、対称的、発散なし、重みゼロのすべての可能な付随的関係を同定する。
• 物理的制約を課す：リーマン曲率テンソルが非ゼロのとき非ゼロであること、物質のストレスエネルギーがゼロのとき発散が消えること。
• このような付随的関係の唯一の候補が、アインシュタインテンソルの定数倍に限られることを用いるが、これは非自明なウェイリ曲率が存在するときでさえゼロになることがある。
• 有効な重力的ストレスエネルギーテンソルは、非自明な曲率を持つ時空（例：真空中の純粋な重力波を有する時空）においてゼロであってはならないという原則を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、計量から構成可能な局所的、対称的、第二階、発散なしのテンソルとして、重力的ストレスエネルギーを表すものを作成することは可能か？
• RQ2 等価原理に基づく伝統的な議論は、なぜ重力エネルギーの非局所性を厳密に正当化できないのか？
• RQ3 重力エネルギーを表す可能性がある計量のテンソル的付随的関係に課される数学的制約は何か？
• RQ4 非ゼロのエネルギーを曲がった時空で示し、物質のストレスエネルギーがゼロのとき保存則を満たすような、どのようなテンソル的対象が存在する可能性があるか？
• RQ5 計量バンドルのジャンルバンドルの構造は、重力エネルギーテンソルの存在にどのように制約を加えるか？

主な発見

• リーマンテンソルが非ゼロのとき非ゼロであり、物質のストレスエネルギーがゼロのとき共変発散が消えるような、計量の二階、共変、対称、同次的付随的関係は存在しない。
• このような付随的関係の唯一の候補は、アインシュタインテンソルの定数倍であり、これは非自明なウェイリ曲率が存在するときでさえゼロになることがある。
• したがって、アインシュタインテンソルは、真空中の純粋な重力波を検出できないため、重力的ストレスエネルギーの表現には不適切である。
• 一般相対性理論における重力エネルギーは、物理的および幾何的条件を満たす局所的テンソル表現が存在しないため、本質的に非局所的でなければならない。
• この分析により、既知の重力エネルギーのすべての表現が非テンソル的かつ積分的であることが確認され、一般相対性理論の長年の伝承と整合的である。
• 本論文は幾何学的に厳密な結果を確立した：可能な唯一の候補はリーマン曲率テンソルの付随的関係であり、その中でも必要な物理的制約を満たすものは存在しない。