[論文レビュー] On Testing Minor-Freeness in Bounded Degree Graphs With One-Sided Error.

Hendrik Fichtenberger, Reut Levi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有界次数グラフにおけるH-マイナー自由性の片側誤差性質テストアルゴリズムを提示する。ここでHは任意の(k×2)-グリッドのマイナーである。グラフ構造を分析し、Hを含む小さな部分グラフまたは連結頂点部分集合間に大きなエッジカットが存在するかを検出することで、アルゴリズムはÕ(n²³/ε⁵)のクエリ複雑性を達成し、サイクル自由性およびCₖ-マイナー自由性に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We present a one-sided error property testing algorithm for $H$-minor freeness in bounded-degree graphs for any minor $H$ that is a minor of the $(k imes 2)$-grid (for any $k \in \mathbb{N}$). This includes, for example, testing whether a graph is a cactus graph and testing minor-freeness for minors which are cycles with parallel chords. The query complexity of our algorithm in terms of the number of vertices in the graph, $n$, is $ ilde{O}(n^{2/3} / \epsilon^5)$. Czumaj et al. showed that cycle-freeness and $C_k$-minor freeness can be tested with query complexity $ ilde{O}(\sqrt{n})$. In contrast to these results, we analyze the structure of the graph and show that either we can find a subgraph of sublinear size that includes the forbidden minor, $H$, or we can find a pair of disjoint subsets of vertices whose edge-cut is large, and such that the induced subgraph of each subset is connected. We then prove a combinatorial lemma which shows that the latter structure includes $H$ as a minor.

研究の動機と目的

• 任意のk∈ℕについて(k×2)-グリッドのマイナーであるHに対して、有界次数グラフにおけるH-マイナー自由性の片側誤差性質テストアルゴリズムを開発すること。
• サイクル自由性およびCₖ-マイナー自由性に関する既存の結果を、より広いマイナーのクラスへと拡張すること。
• H-マイナー自由性のテストにおいて、片側誤差を維持したまま、サブリニアなクエリ複雑性を達成すること。
• Hをマイナーとして含むか、またはH-マイナーの包含を示唆する構造的特徴を示すグラフを、組合せ的特徴づけすること。

提案手法

• アルゴリズムは、禁止マイナーHを含むサブリニアサイズの部分グラフ、または連結な頂点部分集合のペア間の大きなエッジカットの両方を検出するためにグラフ構造を分析する。
• 頂点ペアの各部分集合に対して、連結な誘導部分グラフを特定し、マイナー検出のための構造的頑健性を保証する。
• 大きなエッジカットが連結な誘導部分グラフ間で存在する場合、Hはグラフのマイナーであることを示す、重要な組合せ的補題を証明する。
• 小さな部分グラフにHが含まれるか、構造的ペアが存在するかを特定するために、再帰的または反復的探索戦略を用いる。
• 有界次数グラフに特化した確率的サンプリングおよび局所的探索技術を用いて、クエリ複雑性を上限で制御する。
• Czumajらによるサイクル自由性に関する先行研究を一般化し、より広いマイナーのクラスへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクルや単純な構造以外のマイナーHに対して、有界次数グラフにおけるH-マイナー自由性の片側誤差性質テストが可能か？
• RQ2 グラフのどの構造的性質が禁止マイナーHの存在を示唆するか？ そして、それらはどのように効率的にテストできるか？
• RQ3 Hが(k×2)-グリッドのマイナーである場合、H-マイナー自由性のテストにおいてサブリニアなクエリ複雑性を達成することは可能か？
• RQ4 2つの連結な頂点部分集合間に大きなエッジカットが存在する場合、それが有界次数グラフにおけるマイナー包含とどのように関係するか？
• RQ5 構造的グラフ特徴に基づいてマイナーの存在を証明する組合せ的補題を構築することは可能か？

主な発見

• Hが(k×2)-グリッドの任意のマイナーである場合、H-マイナー自由性のテストにおけるクエリ複雑性はÕ(n²³/ε⁵)である。
• 本手法は、既存のサイクル自由性およびCₖ-マイナー自由性に関する結果（クエリ複雑性Õ(√n)）を、より広いマイナークラスへと一般化した。
• 2つの連結な誘導部分グラフ間の大きなエッジカットの存在は、グラフがHをマイナーとして含むことを示唆する。これは、新しい組合せ的補題によって形式化されている。
• アルゴリズムは、Hをマイナーとして含むグラフとH-マイナー自由なグラフを、片側誤差のみを用いて区別する。
• 本手法は、Hを含む小さな部分グラフの検出、または大きなエッジカットを持つ構造的ペアの検出の両方を、サブリニアクエリでテスト可能である。
• 構造的グラフ分解が、有界次数グラフにおけるマイナー閉性質の効率的性質テスト器の設計に活用可能であることが示された。