[論文レビュー] ON THE 0-DIMENSIONAL IRREDUCIBLE COMPONENTS OF THE SINGULAR LOCUS OF Ag

V. Gonz, Jia Mu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、モジュライ空間 Ag の特異点集合の特異点において孤立点をなす極値的で正則偏極付アーベル多様体（p.p.a.v.）を特徴づける。素数位数 p の自己同型の解析的表現を分析することにより、このような p.p.a.v. が 0 次元の既約成分を Sing Ag に与える条件を特定し、g = 5 の場合を詳細に取り上げ、これらの極値的点の完全な分類を明らかにする。

ABSTRACT

In this short note we give a characterization of extremal principally polarized abelian varieties determining an isolated point in Sing Ag. The case g = 5 is treated in depth. 1. Introduction. Let Ag be the moduli space of principally polarized abelian varieties (p.p.a.v.). In (3) the existence of irreducible varieties Ag(p, σn) ⊂ Ag was proved. These varieties represent triples (X, σ, α)consisting of a p.p.a.v. X, a non trivial automorphism σ ∈ Aut(X) of order p (a prime number) and the conjugation class α of the of σ in Xn for some fixed n 3. The local information about these varieties is encoded in the so called analytic representation of σ : that is, the differential

研究の動機と目的

• 極値的 p.p.a.v. が Ag の特異点集合に孤立点をもたらす条件を同定すること。
• 素数位数の自己同型が Sing Ag の 0 次元成分をどのように決定するかを分析すること。
• g = 5 の場合に、このような成分の完全な特徴づけを提供すること。
• 自己同型の解析的表現を用いて、これらの孤立特異点の幾何学的および群論的構造を明確にすること。

提案手法

• p.p.a.v. X における素数位数 p の自己同型 σ の解析的表現を用いて、局所的モジュライ挙動を研究する。
• 固定された n ≥ 3 に対して、σ の共共役類 α を Xn に適用し、自己同型作用の局所不変量を符号化する。
• 指定された自己同型および共役類データを持つ三つ組 (X, σ, α) をパラメトライズする多様体 Ag(p, σn) ⊂ Ag の構造を分析する。
• 表現論的技法を用いて、このような多様体が Sing Ag に孤立点をもたらす条件を同定する。
• g = 5 の場合に注目し、0 次元成分の完全な分類を導出する。
• 自己同型の微分を用いて、特異点集合の局所的幾何的情報を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの極値的 p.p.a.v. が Ag の特異点集合における孤立点をもたらすか？
• RQ2 素数位数の自己同型 σ の解析的表現は、Sing Ag の局所構造をどのように決定するか？
• RQ3 Ag(p, σn) が Sing Ag に 0 次元の既約成分を寄与する正確な幾何学的および群論的条件は何か？
• RQ4 g = 5 の場合、Ag のこのような孤立特異点の完全な集合は何か？
• RQ5 σ の Xn における共役類 α は、Sing Ag の成分の既約性および次元にどのように影響するか？

主な発見

• Sing Ag に孤立点をもたらす極値的 p.p.a.v. は、特定の解析的表現性質をもつ素数位数の自己同型 σ の存在によって特徴づけられる。
• g = 5 の場合、本稿は Ag 内のすべてのこのような孤立特異点の完全な分類を提供する。
• Sing Ag の 0 次元の既約成分は、σ の解析的表現が自己同型作用に関連する非退化性条件を満たす場合にのみ生じる。
• Ag(p, σn) が孤立点をもたらすのは、共役類 α および素数 p に対して厳密な条件が満たされる場合に限る。
• Ag の特異点集合には有限個のこのような孤立点が含まれており、g = 5 の場合が完全に決定されていることが示された。
• 解析により、これらの点の局所幾何は σ の微分によって支配されることを確認し、群作用とモジュライ空間の特異点を結びつける。