[論文レビュー] On the 1-3-5 conjecture and related topics

Hai-Liang Wu, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、三変数二次形式とモジュラー形式を用いて、十分に大きな整数が変数に線形制約を課した4つの平方の和として表現可能であることを証明することで、1-3-5予想を進展させている。主な結果として、16で割り切れない十分に大きな整数は、$x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ と表され、$x+3y+5z \in \{1,4\}$ を満たすことが示され、すべての大きな整数は $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ と表され、$x+2y+w=1$ などの特定の線形条件を満たすことが示された。本研究は、数論的道具を深く用いて、Sunの1-3-5予想の整数版に対する顕著な進展をもたらしている。

ABSTRACT

The 1-3-5 conjecture of Z.-W. Sun states that any $n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ can be written as $x^2+y^2+z^2+w^2$ with $w,x,y,z\in\mathbb N$ such that $x+3y+5z$ is a square. In this paper, via the theory of ternary quadratic forms and related modular forms, we study the integer version of the 1-3-5 conjecture and related weighted sums of four squares with certain linear restrictions. Here are two typical results in this paper: (i) There is a finite set $A$ of positive integers such that any sufficiently large integer not in the set $\{16^ka:\ a\in A,\ k\in\mathbb N\}$ can be written as $x^2+y^2+z^2+w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+3y+5z\in\{4^k:\ k\in\mathbb N\}$. (ii) Any positive integer can be written as $x^2+y^2+z^2+2w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+y+2z+2w=1$. Also, any sufficiently large integer can be written as $x^2+y^2+z^2+2w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+2y+3z=1$.

研究の動機と目的

• Z.-W. Sunの1-3-5予想の整数版を解決すること。この予想は、すべての非負整数が $x+3y+5z$ が完全平方となるような4つの平方の和として表されるとするものである。
• Sunが最近提起した、線形制約を課した4つの平方の重み付き和に関する予想を拡張すること。特に $x^2 + y^2 + 2w^2$ や $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ のような形式について。
• 十分に大きな整数が、特定の変数の線形結合が1に等しくなるような条件下で平方の和として表現可能である条件を確立すること。
• 重み $3/2$ の三変数二次形式およびモジュラー形式の理論を用いて、制御された線形制約下での表現可能性の結果を証明すること。

提案手法

• 整数の表現を分析するために、正規および類型正規三変数二次形式の理論を用いる。
• 類体論およびスピン例外クラス理論を適用して、与えられた形式によって表現される整数を特定する。
• 重み $3/2$ のモジュラー形式を用いて、大きな整数の漸近的密度および表現可能性の結果を導出する。
• Eulerの四平方恒等式および代数的変形を用いて、線形制約下での表現を変換する。
• $p$-進表現およびHasse-Minkowskiの定理を用いた局所-大域原理を適用して、グローバルな表現問題を簡略化する。
• 合同条件および変数の置換（例：$r_0 = 99u - 22s + s_0$）を用いて、$x+2y+w=1$ のような線形方程式を満たす解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな整数は、すべて $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ と表され、$x+3y+5z \in \{1,4\}$ を満たすか？
• RQ2 すべての大きな整数は、$x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ と表され、$x+2y+w=1$、$y+z+w=1$、$y+2z+w=1$ のいずれかを満たすか？
• RQ3 線形形式 $x+3y+5z$ が4のべきに制限された場合、1-3-5予想はすべての正の整数に対して成り立つか？
• RQ4 線形形式 $x+3y+5z$ が平方数であるという、任意の正の整数が4つの平方の和として表されるという予想は、大きな整数に限らずすべての $n$ に対して証明可能か？
• RQ5 整数 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ と表されるとき、$x+3y+5z \in \{4^k\}$ を満たす例外は有限個であるか？ また、それらは明示的に記述可能か？

主な発見

• 16で割り切れない十分に大きな整数 $n$ は、$x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ と表され、$x+3y+5z \in \{1,4\}$ を満たす。これは1-3-5予想に対する強い証拠を提供する。
• 正の整数の有限集合 $A$ が存在し、$ oneq \{16^k a : a \in A, k \in \mathbb{N}\}$ に属する十分に大きな整数 $n$ は、$x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ と表され、$x+3y+5z \in \{4^k : k \in \mathbb{N}\}$ を満たす。
• 十分に大きな整数 $n$ は、$x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ と表され、$x+2y+w=1$、$y+z+w=1$、$y+2z+w=1$ のいずれかを満たす。これはSunの予想の特殊ケースを確認する。
• $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ に対して、すべての大きな整数は $x+2y+w=1$、$y+z+w=1$、$y+2z+w=1$ を満たす表現を持つ。モジュラー形式および合同条件の置換を用いた明示的構成がなされた。
• 任意の大きな整数 $n$ は、$x^2 + y^2 + 2w^2$ と表され、$(\mu,\nu) \in \{(2,3),(2,5),(3,4)\}$ に対して $x+\mu y + \nu z = 1$ を満たす。これはSunの重み付き平方和に関する予想を拡張する。
• 本論文は、$x^2 + y^2 + 3z^2 + 4w^2$ が $y+z+2w=1$ を満たすすべての大きな整数を表現することを証明した。同様に、$x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ が $y+2z+3w=1$ を満たす場合も確認され、追加の予想的ケースが裏付けられた。