[論文レビュー] On the 2-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication

John Coates, Minhyong Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、虚二次体上の複素乗法を持つ楕円曲線に対して、2次歪みの平均化とクレーカー＝アイゼンスタイン級数を用いて、Birch-Swinnerton-Dyer予想の2部の弱い形を確立する。主な結果は、歪みの中心L値をアイゼンスタイン級数の和と結びつける公式であり、これにより根数$-1$を持つ曲線への応用が可能になり、 Tian の合同数問題に関する結果が拡張される。

ABSTRACT

Given an elliptic curve E over Q with complex multiplication having good reduction at 2, we investigate the 2-adic valuation of the algebraic part of the L-value at 1 for a family of quadratic twists. In particular, we prove a lower bound for this valuation in terms of the Tamagawa number in a form predicted by the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer.

研究の動機と目的

• CM楕円曲線の2次歪みで根数$-1$である無限族に、Tianの合同数問題に関する結果を拡張すること。
• 標準的なIwasawa理論が失敗する$p=2$におけるCM楕円曲線の2部BSDの弱い形を確立すること。
• 2次歪みの平均化とアイゼンスタイン級数に基づく初等的手法を構築し、$p=2$における完全なIwasawa理論の必要性を回避すること。
• 特に、2で良い還元を持つ曲線および類数1の虚二次体の整数環を含むCMを持つ曲線に対して、この手法が特に滑らかに適用されることを示すこと。
• この弱いBSD形を基盤として、$L$-値と解析的ランクに関する深い算術的結果を、より広い歪み族へと拡張するための土台を提供すること。

提案手法

• CM楕円曲線の複素$L$-級数の古典的表現を、Kronecker-Eisenstein級数$H_1(z,s,\mathfrak{L})$の和として用いる。
• 射類群の代表元を用いて2次歪みの上での平均化を適用し、$L_S(\bar{\psi}_E,s)$と中心$L$-値を関連付ける。
• 体$\mathcal{O}_K$上でのグローバルな最小Weierstrassモデルを固定し、Néron微分形式の格子$\mathfrak{L} = \Omega_\infty \mathcal{O}_K$となるように周期$\Omega_\infty$を定義する。
• 曲線$E/K$のGrossencharacter$\psi_E$とその複素共役を用いて、非原始的$L$-関数$L_S(\bar{\psi}_E,s)$を$\mathfrak{b} \in \mathcal{B}$の和として表現する。
• $K$が類数1であり、$\mathfrak{g}$が$\psi_E$の導子$\mathfrak{f}$の倍数であることから、$K(E_g)$は$\mathfrak{g}$を法とする射類体であることを用いる。
• 公式$L_S(\bar{\psi}_E,s) = \frac{|\Omega_\infty / g|^{2s}}{\overline{\Omega_\infty / g}} \sum_{\mathfrak{b} \in \mathcal{B}} H_1(\psi_E(\mathfrak{b})\Omega_\infty / g, s, \mathfrak{L})$を適用し、$L$-値とアイゼンスタイン級数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初等的手法を用いて、$p=2$におけるCM楕円曲線の2部BSDの弱い形を確立できるか？
• RQ2 2次歪みの平均化により、根数$-1$の歪みにおける代数$L$-値の2進付値に有効な評価が得られるか？
• RQ3 この手法は、CM曲線の無限族の2次歪みに適用可能であり、$s=1$における$L$-値の非消滅を示せるか？
• RQ4 このような族全体を通じて、Tamagawa因子と代数$L$-値の2進付値の構造はどのように振る舞うか？
• RQ5 この手法は、Waldspurgerの公式のような高度な道具に代わるか、補完的役割を果たせるか、その範囲はどの程度か？

主な発見

• $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}), \mathbb{Q}(\sqrt{-2}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, または$q=7,11,19,43,67,163$に対する$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$の整数環を含む複素乗法を持つ楕円曲線に対して、この手法により2部BSDの弱い形が得られる。
• 2次歪み$E^{(-M)}$の中心$L$-値$L(E^{(-M)},1)$は、Kronecker-Eisenstein級数の和と関連づけられ、その2進付値の制御が可能になる。
• 表Iおよび表IIでは、さまざまな歪みについて$\mathrm{ord}_2 |L^{(\text{alg})}(E^{(-M)},1)|$の2進付値が計算されており、$M=307, 547, 787$の例では最大6に達し、2-主Selmer群の非自明な増大を示唆する。
• 2で良い還元を持つ曲線に対して、この手法は簡潔に適用可能であり、導手121の例$E: y^2 + y = x^3 - x^2 - 7x + 10$で示されている。
• この曲線では11におけるTamagawa因子は常に2であり、すべてのテスト済み$M$について代数$L$-値の2進付値は$\geq 2$である。これは弱いBSD予想と整合的である。
• 補題4.6により、このようなCM曲線のすべての2次歪みにおける代数$L$-値の2進付値に一様な評価が得られ、非消滅結果への応用が可能になる。