[論文レビュー] On the 3/4-Conjecture for Fix-Free Codes -- A Survey

Holger Schnettler|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

このサーベイは、固定自由符号の3/4予想を包括的にレビューしている。この予想は、符号語長の任意の列に対してKraft和 ≤ 3/4 であれば固定自由符号が存在すると述べている。本稿は既知の結果を統合し、de Bruijn有向グラフとπシステムを用いてq進アルファベットへの拡張を図り、符号存在の十分条件を提示している。これには、Kraft和が5/8まで、および長さ列の構造的制約が含まれる。

ABSTRACT

In this survey we concern ourself with the question, wether there exists a fix-free code for a given sequence of codeword lengths. For a given alphabet, we obtain the {\em Kraftsum} of a code, if we divide for every length the number of codewords of this length in the code by the total number of all possible words of this length and then take summation over all codeword lengths which appears in the code. The same way the Kraftsum of a lengths sequence $(l_1,..., l_n) $ is given by $\sum_{i=1}^n q^{-l_i} $, where $q$ is the numbers of letters in the alphabet. Kraft and McMillan have shown in \cite{kraft} (1956), that there exists a prefix-free code with codeword lengths of a certain lengths sequence, if the Kraftsum of the lengths sequence is smaller than or equal to one. Furthermore they have shown, that the converse also holds for all (uniquely decipherable) codes.\footnote{In this survey a code means a set of words, such that any message which is encoded with these words can be uniquely decoded. Therefore we omit in future the "uniquely decipherable" and write only "code".} The question rises, if Kraft's and McMillan's result can be generalized to other types of codes? Throughout, we try to give an answer on this question for the class of fix-free codes. Since any code has Kraftsum smaller than or equal to one, this answers the question for the second implication of Kraft-McMillan's theorem. Therefore we pay attention mainly to the first implication.

研究の動機と目的

• 固定自由符号の3/4予想に関する既知の結果を体系的に整理し、符号語長のKraft和が3/4以下である限り固定自由符号が存在することを主張する。
• 従来の2進符号からの結果をq進アルファベットへ拡張し、特にde Bruijn有向グラフと正則部分グラフを活用して固定自由符号を構成する。
• 長さ列の構造的制約（疎らかさ、周期性など）を伴う場合の固定自由符号の存在の十分条件を提供する。
• Kraft-McMillan不等式が固定自由符号に対して有効な限界を明確にし、3/4が最適であることを示す。3/4より大きな境界では反例が存在する。
• 2進固定自由符号のための新たな十分条件を提示する。これには、Kraft和が5/8までで、偶数長符号語に構造的制約を課す場合を含む。

提案手法

• 符号語長の与えられた列に対して固定自由符号の可能性を評価するため、Kraft和の公式 ∑ q^(-l_i) を用いる。ここで q はアルファベットサイズを表す。
• 符号語構造をモデル化し、有効な固定自由符号に対応する正則部分グラフを同定するため、de Bruijn有向グラフ B_q(n) を適用する。
• 正則部分グラフを拡張することで固定自由符号を生成するπシステムを用い、望ましい長さ分布を持つ符号の体系的構成を可能にする。
• 組合せ論的およびグラフ理論的技法を用いて、符号存在の十分条件を導出し、各長さにおける符号語数の制約を含む。
• 特に2進符号において、長さ7または8までの特定のケースについて、コンピュータ支援による検証を実施し、有界な長さ列における存在を検証する。
• 繰り返し長さを含む列における符号存在を判定するため、インデックス h(i) と長さ依存性を含む積に基づく不等式基準を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kraft和が ≤ 3/4 である任意の符号語長の列に対して、固定自由符号が存在するか？
• RQ2 3/4予想を2進からq進アルファベットへ一般化できるか。また、長さ列のどのような構造的条件が符号存在を保証するか？
• RQ3 Kraft和が1/2を超えるが3/4未満の状況でも、固定自由符号が存在する十分条件は何か？
• RQ4 de Bruijn有向グラフおよびその正則部分グラフは、固定自由符号の構成と分析にどのように寄与するか？
• RQ5 固定自由符号が保証されるKraft和の最もタイトな既知の上限は何か。また、これらの上限を改善できるか？

主な発見

• 3/4予想は一般には未解決のままであるが、2段階符号や特定の長さパターン制限付きの2進符号列では成立することが確認されている。
• 2進符号では、Kraft和が5/8までに達する場合に予想が検証されており、YeとYeung、Yekhaninによる構造的制約と積不等式を用いた十分条件が提示されている。
• 任意のγ > 3/4に対して、Kraft和 < γ であるが固定自由符号が存在しない長さ列が存在することを示し、3/4が予想の最適な閾値であることを証明した。
• すべての奇数長符号語が存在しない2進符号列では、長さ2nまで幾何級数的進行する偶数長符号語があり、長さ2nにおける符号語数が十分に大きい場合、固定自由符号が存在する。
• 長さ列が有限で、長さ ≥ 4（偶数）に制限され、符号語数が 2^(l_min/2 - 2 + l) で有界である場合、固定自由符号が存在する。
• すべての長さ ≥ 8 が0に設定された2進符号では、低長さにおける分布に関わらず、固定自由符号が存在することが、コンピュータ探索によって確認された。