[論文レビュー] On the abominable properties of the almost Mathieu operator with well approximated frequencies

Artur Avila, Yoram Last+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有理数によってよく近似可能な周波数を持つほぼマチウ作用素が、1次元シュレーディンガー作用素の中で最も病理的なスペクトル的性質を示しうることを示している。臨界結合（$\lambda=1$）において、対数より速く減少するガウジ関数に対して、ハウスドルフ測度がゼロとなることが確立されており、また、統合密度状態およびリャプノフ指数の連続性のモジュラスが任意に悪いものとなり得るとともに、スペクトルは均一性およびパールー＝ウィドム条件を満たさない可能性がある。

ABSTRACT

We show that some spectral properties of the almost Mathieu operator with frequency well approximated by rationals can be as poor as at all possible in the class of all one-dimensional discrete Schroedinger operators. For the class of critical coupling, we show that the Hausdorff measure of the spectrum may vanish (for appropriately chosen frequencies) whenever the gauge function tends to zero faster than logarithmically. For arbitrary coupling, we show that modulus of continuity of the integrated density of states can be arbitrary close to logarithmic; we also prove a similar result for the Lyapunov exponent as a function of the spectral parameter. Finally, we show that (for any coupling) there exist frequencies for which the spectrum is not homogeneous in the sense of Carleson, and, moreover, fails the Parreau-Widom condition. The frequencies for which these properties hold are explicitly described in terms of the growth of the denominators of the convergents.

研究の動機と目的

• 周波数 $\alpha$ が有理数によって非常によく近似可能である場合の、ほぼマチウ作用素の極端なスペクトル的挙動を調査すること。
• このような算術的条件下で、ハウスドルフ測度、統合密度状態の連続性、およびリャプノフ指数といったスペクトル的性質の正則性の限界を特定すること。
• スペクトルが均一性およびパールー＝ウィドム条件を満たさない周波数の集合を特徴付け、これが1次元シュレーディンガー作用素のクラスの中で最も悪い性質をとることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$\alpha$ の算術的構造、特にその近似分数 $q_n$ の分母の増加率に着目して、ほぼマチウ作用素 $H_{\alpha,\lambda,\theta}$ のスペクトルを分析している。
• 周期的近似作用素 $H_{p_n/q_n,\lambda,\theta}$ のスペクトルギャップおよびバンド幅の推定を適用し、$\lambda > 1$ のときバンドが任意のべき則よりも速く収縮することを示している。
• 主な技術的アプローチとして、$\theta$-平均化密度状態 $\overline{\rho}_{p_n/q_n,\lambda}$ を用い、無理数 $\alpha$ における真の密度 $\rho_{\alpha,\lambda}$ と比較するための摂動論的議論を展開しており、KAM型議論の定量的バージョンを用いている。
• 区間の密度と長さに基づく被覆議論を用いて、与えられた区間内に存在するスペクトルバンドの数を評価し、区間の数がその総測度および密度に関係することを根拠とする主張に依拠している。
• ガウジ関数 $\omega_t(s) = 1/\log^t(1/es)$ および $\widetilde{\omega}_t(s) = s^t$ を用いてハウスドルフ測度の減少を定量的に評価し、特定の $\alpha$ に対して、$\omega$ が速く減少する場合に測度が消えることを示している。
• 統合密度状態およびリャプノフ指数の連続性のモジュラスが、任意に対数的に近くなることを、これらの関数が小さな区間内で示す変動の推定により確立している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界結合（$\lambda=1$）において、対数より速く減少するガウジ関数に対し、ほぼマチウ作用素のスペクトルのハウスドルフ測度がゼロとなることは可能か？
• RQ2 有理数によってよく近似可能な周波数において、統合密度状態およびリャプノフ指数はどの程度正則であると考えられるか？その連続性のモジュラスは、対数的連続性に任意に近づくことができるか？
• RQ3 ある種のよく近似可能な周波数に対して、スペクトルがカールソンの意味での均一性を満たさないことはあるか？
• RQ4 周波数 $\alpha$ が有理数によって非常によく近似可能である場合、任意の結合 $\lambda$ に対してスペクトルがパールー＝ウィドム条件を満たさないことはあり得るか？
• RQ5 連分数の分母 $q_n$ に対して、これらの極端なスペクトル的性質が生じる周波数を特徴付ける明示的な算術的条件は何か？

主な発見

• 臨界結合 $\lambda=1$ において、$\beta(\alpha)>0$ ならば、すべての $t>2$ に対して $\mathcal{H}^{\omega_t}(S(\alpha,1))=0$ が成り立つ。これは、$1/\log^2(1/es)$ より速く減少するガウジ関数に対して、スペクトルがゼロハウスドルフ測度をとることを意味する。
• すべての $\omega$ に対して $\lim_{s\to 0^+} \omega(s) \log(1/s) = 0$ を満たすとき、$G_\delta$-稠密な無理数 $\alpha$ の集合が存在し、$\mathcal{H}^\omega(S(\alpha,1))=0$ が成り立つ。これは、対数より速く減少するガウジ関数に対して、スペクトルがゼロ測度をとることを示している。
• 任意の結合 $\lambda$ に対して、統合密度状態の連続性のモジュラスは、対数的連続性に任意に近づくことができ、したがって、正則性が可能な限り悪い状態であることを示している。
• 同様に、スペクトルパラメータの関数としてのリャプノフ指数の連続性のモジュラスも、対数的連続性に任意に近づくことができ、これは最大限の不規則性を示している。
• スペクトルがカールソンの意味で均一でないだけでなく、パールー＝ウィドム条件を満たさない周波数 $\alpha$ が存在する。これは、任意の $\lambda > 0$ に対して、幾何学的にも可能な限り不規則なスペクトルが得られることを示している。
• これらの極端な性質が生じる周波数は、近似分数の分母の増加率 $q_{n+1} \gg \lambda^{q_n}$ によって明示的に特徴付けられており、これは有理数による極めて急速な近似を意味する。