[論文レビュー] On the absolute constants in the Berry-Esseen type inequalities for identically distributed summands

Irina Shevtsova|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 101

ひとこと要約

この論文は、有限な3次絶対モーメントをもつ独立同一分布に従う確率変数に対して、Berry–Esseen不等式における絶対定数 $ C_0 $ の上界を改善する。KorolevとShevtsova（2010年）の手法を精緻化することで、不等式 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ を確立し、$ C_0 $ の既知で最も良い推定値を $ C_0 < 0.4756 $ に高め、中心極限定理における収束速度の上限を顕著に厳しくした。

ABSTRACT

By a modification of the method that was applied in (Korolev and Shevtsova, 2010), here the inequalities $Δ_n\leq0.3328(β_3+0.429)/\sqrt{n}$ and $Δ_n\leq0.33554(β_3+0.415)/\sqrt{n}$ are proved for the uniform distance $Δ_n$ between the standard normal distribution function and the distribution function of the normalized sum of an arbitrary number $n\geq1$ of independent identically distributed random variables with zero mean, unit variance and finite third absolute moment $β_3$. The first of these two inequalities improves one that was proved in (Korolev and Shevtsova, 2010), and as well sharpens the best known upper estimate for the absolute constant $C_0$ in the classical Berry--Esseen inequality to be $C_0&lt;0.4756$, since $0.3328(β_3+0.429)\leq0.3328\cdot1.429β_3&lt;0.4756β_3$ by virtue of the condition $β_3\geq1$. The second of these inequalities is also a structural improvement of the classical Berry--Esseen inequality, and as well sharpens the upper estimate for $C_0$ still more to be $C_0&lt;0.4748$.

研究の動機と目的

• 古典的Berry–Esseen不等式における絶対定数 $ C_0 $ の上界を精緻化すること。
• 有限な3次絶対モーメントをもつ独立同一分布に従う確率変数に対して、中心極限定理における収束速度の推定値を改善すること。
• $ \Delta_n $、すなわち標準化された和の分布と標準正規分布との間の一様距離に関する既存の上限を鋭くすること。
• 3次絶対モーメント $ \beta_3 $ に依存するより緊密な構造的不等式を提供すること。

提案手法

• KorolevとShevtsova（2010年）が用いた手法の修正版を適用し、原点付近における特徴関数の差の推定値を精緻化する。
• 滑らかさ不等式を改善するために、原点近傍における特徴関数の差の挙動に注目する。
• 3次絶対モーメント $ \beta_3 $ に対する境界を用い、正規化された和の分布 $ F_n(x) $ に適用する。
• 一様距離 $ \Delta_n = \sup_x |F_n(x) - \Phi(x)| $ は、特徴関数技術の精緻な応用によって境界づけられる。
• 特徴関数展開における剰余項の改善された推定値を組み込むことで、最終的な境界をより厳しくする。
• 標準的条件の下で分析を行う：平均0、分散1、有限な3次絶対モーメント $ \beta_3 \geq 1 $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同一分布に従う和のためのBerry–Esseen不等式における絶対定数 $ C_0 $ の最もタイトな上界は何か？
• RQ2 原点付近における特徴関数の差の推定値を精緻化することで、中心極限定理における収束速度を改善できるか？
• RQ3 3次絶対モーメント $ \beta_3 $ の取り入れ方は、$ \Delta_n $ の境界の鋭さにどのように影響するか？
• RQ4 $ \Delta_n \leq C_0 \beta_3 / \sqrt{n} $ の境界を、$ \beta_3 $ に関する線形補正項を導入することで改善できるか？
• RQ5 現在の解析的手法を前提とすると、$ \beta_3 \geq 1 $ の仮定のもとで達成可能な $ C_0 $ の最良の値は何か？

主な発見

• 本論文は、すべての $ n \geq 1 $ およびすべての $ F \in \mathcal{F}_3 $ に対して、不等式 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ を確立する。
• この結果は、KorolevとShevtsova（2010年）が得た以前の境界 $ \Delta_n \leq 0.33477 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $ よりも改善している。
• 新しい境界は $ C_0 < 0.4756 $ を意味し、以前に知られていた $ C_0 < 0.4774 $ よりもよりタイトな上界推定値である。
• 原点付近における特徴関数の差の精緻な解析により、滑らかさ不等式技術が強化され、この改善が達成された。
• 境界 $ C_0 < 0.4756 $ は、$ \beta_3 \geq 1 $ であるすべての $ \mathcal{F}_3 $ 内の分布を考慮して、$ 0.3328 \cdot 1.429 < 0.4756 $ から導出される。
• 2番目の不等式 $ \Delta_n \leq 0.33554 \cdot \frac{\beta_3 + 0.415}{\sqrt{n}} $ も確立され、これにより上界はさらに $ C_0 < 0.4748 $ に高められた。