[論文レビュー] On the Accuracy and Stability of Various DG Formulations for Diffusion

Mohammad Alhawwary, Z.J. Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、von Neumann解析および複合モード解析を用いて、拡散問題に用いられる代表的な不連続ガレルキン（DG）スキーム（SIPG、BR1、BR2、LDG）の精度および安定性を分析している。LDGスキームは高波数成分および長時間シミュレーションにおいて優れた分散精度を示す一方、ペナルティパラメータの調整によりBR1の安定性と性能が向上し、BR2に近い挙動を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper, we study the stability (in terms of the maximum time step) and accuracy (in terms of the wavenumber-diffusion properties) for several popular discontinuous Galerkin (DG) viscous flux formulations. The considered methods include the symmetric interior penalty formulation (SIPG), the first and second approaches of Bassi and Rebay (BR1, BR2), and the local discontinuous Galerkin method (LDG). For the purpose of stability, we consider the von Neumann stability analysis method for uniform grids with a periodic boundary condition. In addition, the combined-mode analysis approach previously introduced for the wave equation is utilized to analyze the dissipative error. This new approach can be used to study the performance of a particular DG and Runge-Kutta DG (RKDG) scheme for the entire extended wavenumber range. Thus, more insights into the robustness as well as accuracy and efficiency can be obtained. For instance, the LDG method provides larger dissipation for high-wavenumber components than the BR1 and BR2 approaches for short time simulations in addition to a lower error bound for long time simulations. The BR1 approach with added dissipation can have desirable properties and stability similar to BR2. For BR2, the penalty parameter can be adjusted to enhance the performance of the scheme. The results are verified through canonical numerical tests.

研究の動機と目的

• 拡散問題に対する主要なDGスキーム（SIPG、BR1、BR2、LDG）の安定性および精度を評価すること。
• 完全離散RKDGスキームにおける時間ステップの安定性および分散誤差に及ぼすペナルティパラメータの影響を調査すること。
• 波数依存の分散特性を全波数スペクトルにわたって評価するために、複合モード解析を適用すること。
• 簡略化された実装を支援するための閉形式式を導出し、各スキーム間の関係を明確にすること。
• 線形熱方程式およびバーガース方程式に対する数値実験を通じて結果を検証すること。

提案手法

• 周期的境界条件を満たす均一グリッド上でのvon Neumann安定性解析により、最大安定時間ステップを特定する。
• 全波数範囲にわたる分散誤差を評価するために複合モード解析を適用し、長時間および短時間挙動の理解を深める。
• RKDGスキームにおける半離散および完全離散解析を実施し、ペナルティパラメータと安定性・精度の関係を明確化する。
• 主要なDGスキームのための簡略化された閉形式式を導出し、実装支援および構造的類似性の解明を図る。
• 代表的なテストケース（ガウス初期条件を伴う線形熱方程式、エネルギーが減衰するバーガース乱流）を用い、正確な解との比較による検証を実施する。
• 多項式次数（p = 1 から 5）および時間積分スキーム（RK2、RK3、RK4）の変動を含めたスケールでのスキーム比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RKDGスキームにおいて、SIPG、BR1、BR2、LDGスキームの最大安定時間ステップはどのように比較されるか？
• RQ2 ペナルティパラメータがBR1およびBR2スキームの分散誤差および安定性に与える影響は何か？
• RQ3 長時間にわたるシミュレーションにおいて、LDGスキームは高波数成分の正確な分散挙動をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 ペナルティパラメータの調整により、安定化されたBR1スキームがBR2に類似した分散特性を達成できるか？
• RQ5 短時間および長時間における分散挙動の違いは何か？また、観察された乖離はどのように説明できるか？

主な発見

• 短時間シミュレーションにおいて、LDGスキームはBR1およびBR2よりも高波数成分に対してより大きな分散を示し、長時間シミュレーションではより低い誤差バウンダリーを達成する。
• BR2スキームでは、ペナルティパラメータηの調整がスキーム性能を顕著に向上させ、最適値を設定することで安定性と精度が向上する。
• 半離散および完全離散両ケースにおいて、p=2のときη ≈ 1.33の追加分散を有するBR1スキームは、BR2（η=2）とほぼ同一の分散挙動を示す。
• 最大安定時間ステップΔτ_maxの約50%の位置では、すべてのスキームが半離散時の分散挙動を回復する。一方、Δτ_maxに近づくと、すべてのスキームが高波数成分に対して正確な減衰よりも遅い減衰を示す。
• 1次元線形熱方程式において、同じ多項式次数および時間積分スキームの下で、BR2スキームのΔτ_maxはLDGスキームの約2.5～3.1倍に達する。
• 減衰するバーガース乱流テストにおいて、LDG-η0がエネルギースペクトルを最もよく再現し、非線形な実用的状況下でも優れた精度を示すことが確認された。