[論文レビュー] On the accuracy of stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta methods for finite volume based Navier-Stokes equations

Jiawei Wan, Ahsan Kareem+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のコロケートドグリッド上における有限体積離散化に対して、新規の運動量補間フレームワークを提案する。これにより、剛性に適した対角陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを用いても、速度および圧力の両方で古典的精度の順序を達成できる。半離散系をインデックス2の微分代数方程式（DAE）として扱い、運動量補間を再定式化することで、一貫性誤差を排除し、2次および3次DIRKスキームが追加の計算コストなしに最適な収束性を達成できる。

ABSTRACT

The paper aims at developing low-storage implicit Runge-Kutta methods which are easy to implement and achieve higher-order of convergence for both the velocity and pressure in the finite volume formulation of the incompressible Navier-Stokes equations on a static collocated grid. To this end, the effect of the momentum interpolation, a procedure required by the finite volume method for collocated grids, on the differential-algebraic nature of the spatially-discretized Navier-Stokes equations should be examined first. A new framework for the momentum interpolation is established, based on which the semi-discrete Navier-Stokes equations can be strictly viewed as a system of differential-algebraic equations of index 2. The accuracy and convergence of the proposed momentum interpolation framework is examined. We then propose a new method of applying implicit Runge-Kutta schemes to the time-marching of the index 2 system of the incompressible Navier-Stokes equations. Compared to the standard method, the proposed one significantly reduces the numerical difficulties in momentum interpolations and delivers higher-order pressures without requiring additional computational effort. Applying stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta (DIRK) schemes with the proposed method allows the schemes to attain the classical order of convergence for both the velocity and pressure. We also develop two families of low-storage stiff-accurate DIRK schemes to reduce the storage required by their implementations. Examining the two dimensional Taylor-Green vortex as an example, the spatial and temporal accuracy of the proposed methods in simulating incompressible flow is demonstrated.

研究の動機と目的

• コロケートドグリッド上における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のルンゲ＝クッタ時間積分法において、運動量補間の不一致が引き起こす時間精度の損失を解消すること。
• 有限体積離散化と運動量補間を伴う半離散ナビエ＝ストークス系を、インデックス2の微分代数方程式（DAE）として形式的に確立すること。
• 剛性に適したDIRKスキームを用いる場合に、速度および圧力の両方で古典的収束順序を保持する新しい運動量補間フレームワークを開発すること。
• 低記憶量で剛性に適したDIRKスキーム（SDIRK2およびSDIRK3）を構築し、最小限のメモリ使用量で高精度を維持すること。
• さまざまな境界条件およびグリッドタイプにおいて、速度および圧力の空間的および時間的収束性が最適であることを実証すること。

提案手法

• 半離散ナビエ＝ストークス系のインデックス2のDAE構造と整合するように、変分的定式化に基づく新規な運動量補間フレームワークを導入する。
• 剛性に適した対角陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを用いてDAE系の時間積分を再定式化し、速度および圧力の両方が古典的精度の順序に達することを保証する。
• 2種類の低記憶量DIRKスキーム族を開発する：1つは速度2レジスタおよび圧力1レジスタを必要とし、もう1つは速度3レジスタおよび圧力1レジスタを必要とする。これにより、メモリ消費量を低減する。
• 非線形性に対処するためピカール線形化を用い、圧力-速度結合にはPISO法を適用し、各内部段階で離散的連続の法則が厳密に満たされることを保証する。
• 構造化直交グリッド上におけるテイラー＝グリーン渦をベンチマークとして用い、さまざまな境界条件下での空間的および時間的精度を検証する。
• 標準的手法と比較して検証し、提案手法が2次空間収束および古典的時間収束を達成する一方で、標準手法は非定常境界条件下で失敗し、1次収束にとどまることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロケートドグリッド上における有限体積法の標準的運動量補間は、剛性に適したDIRKスキームを用いる場合に、速度および圧力の両方で古典的精度の順序を維持するか？
• RQ2 半離散ナビエ＝ストークス系の微分代数構造（インデックス2）は、ルンゲ＝クッタ時間積分器の収束挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 時間変動する境界条件下でも、圧力の時間積分における古典的精度の順序を回復できるような、新しい運動量補間フレームワークを設計できるか？
• RQ4 運動量補間スキームは、陰的ルンゲ＝クッタ時間積分における圧力場の時間収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 低記憶量DIRKスキームを構築できるか。これにより、有限体積シミュレーションにおいて、高精度および安定性を維持しながらメモリ使用量を最小限に抑えることができるか？

主な発見

• 提案された運動量補間フレームワークにより、構造化グリッド上におけるGFISDM-ZおよびGFISDM-Hスキームの両方で、速度および圧力の2次空間収束が達成される。
• SDIRK2およびSDIRK3スキームを用いた本手法では、非定常ディリクレ境界条件下であっても、速度および圧力の時間的解がそれぞれ2次および3次古典的収束順序を達成する。
• これに対して、標準的手法は非定常境界条件下で圧力の2次時間収束を達成できず、1次収束にとどまる。
• 十分なピカール反復回数が与えられた場合、SDIRK3は非線形性が強い問題において、SDIRK2よりも計算コストあたりの精度が優れている。
• ピカール反復を早期に終了しても、各内部段階で離散的連続の法則が強制的に満たされるため、本手法は最適な収束性を維持する。
• 解析は、多項式ベースの補間を用いた静的で構造化された直交および曲線グリッドに対して有効である。変形グリッドには、幾何的保存則の追加的強制がなければ、結果は拡張されない。