[論文レビュー] On the action of the dual group on the cohomology of perverse sheaves on the affine grassmannian

Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|May 2, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アフィングラスマンニアン $\mathrm{Gr}^G$ 上の perverse sheaf のコホモロジーへの双対群 $G^{\vee}$ の作用を調査し、単純根に対応する演算子 $\mathbb{e}_i$ と $\mathbb{f}_i$ がセール関係式を満たすことを確立することで、コホモロジーへの普遍包あくり代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ の作用を実現する。主な結果は、$\mathrm{Gr}^G$ 上の交差コホモロジー複体のコホモロジーが、ラングランズ双対リー代数 $\mathfrak{g}^\vee$ の表現を担うことであり、特に準最小ウェイトに対してセール関係式の明示的検証がなされている。

ABSTRACT

It was proved by Ginzburg and Mirkovic-Vilonen that the $G(O)$-equivariant perverse sheaves on the affine grassmannian of a connected reductive group $G$ form a tensor category equivalent to the tensor category of finite dimensional representations of the dual group $G^\vee$. The proof use the Tannakian formalism. The purpose of this paper is to construct explicitely the action of $G^\vee$ on the global cohomology of a perverse sheaf.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン $\mathrm{Gr}^G$ 上の $G(O)$-不変 perverse sheaf のコホモロジーへのラングランズ双対群 $G^\vee$ の作用を理解すること。
• 交差コホモロジー複体のコホモロジーが普遍包あくり代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ の表現を担うことを確立すること。
• 畳み込み作用に由来する演算子 $\mathbb{e}_i$ と $\mathbb{f}_i$ がコホモロジーにおいてセール関係式を満たすことを検証すること。
• リー部分群と固定点集合への制限を用いて、準最小ウェイト $\lambda^\vee$ に対する $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ のコホモロジー構造を分析すること。

提案手法

• アフィングラスマンニアン $\mathrm{Gr}^G$ 上の $G(O)$-不変 perverse sheaf のなす圏 $\mathcal{P}_G$ における Mirković–Vilonen の畳み込み積を用いる。
• $G$ のリー部分群 $M\subset G$ に対する $\mathrm{Gr}^M$ 上の層の圏と関係付けるために、制限関手 $\mathrm{res}^{GM}$ を適用する。
• 畳み込みと制限によって誘導される演算子 $\mathbb{e}_i$ と $\mathbb{f}_i$ の作用を用いて、$\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ の部分層 $S_{\mu^\vee} \subset \overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ のコホモロジーを分析する。
• 準最小ウェイト $\lambda^\vee$ に対して、$\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee} \cap \mathrm{Gr}^{M_i}$ の幾何を研究し、トーラス作用の固定点集合を同定し、線束 $\mathcal{L}(\lambda)$ を用いる。
• コホモロジーの非消滅性を分析し、ペアリング $\langle \alpha_i, \mu^\vee \rangle$ を用いることで、関係式 $[\mathbb{e}_i, \mathbb{f}_j] = \delta_{ij} \mathbb{h}_i$ を検証する。
• $H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee}) \neq 0$ が特定の $\mu^\vee$ のみで成り立つことから、演算子の台を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対群 $G^\vee$ は、アフィングラスマンニアン上の $G(O)$-不変 perverse sheaf のコホモロジーにどのように作用するか？
• RQ2 準最小ウェイトの支配的ウェイト $\lambda^\vee$ に対して、交差コホモロジー複体 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$ のコホモロジー構造はいかなるものか？
• RQ3 単純根に対応する演算子 $\mathbb{e}_i$ と $\mathbb{f}_i$ は、$\mathrm{Gr}^G$ のコホモロジーにおいてセール関係式を満たすか？
• RQ4 トーラス作用の固定点集合は、$\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ の部分層のコホモロジーの台とどのように関係するか？

主な発見

• 交差コホモロジー複体 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$ のコホモロジー $\mathrm{Gr}^G$ 上では、普遍包あくり代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ の表現を担う。
• 準最小ウェイトの支配的ウェイト $\lambda^\vee$ に対して、$H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee})$ は $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$、$\mu^\vee = 0$、または $\mu^\vee = -\alpha_1^\vee$ の場合にのみ非ゼロである。
• $\mathbb{e}_1$ は $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$ のときのみ非自明に作用し、同様に $\mathbb{f}_2$ は $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 1$ のときのみ非自明に作用する。
• 関係式 $[\mathbb{e}_1, \mathbb{f}_2] = 0$ は、$\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$ かつ $\langle \alpha_2, \mu^\vee + \alpha_1^\vee \rangle = 1$ であるとすると $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 4$ となり、これは $\mu^\vee \in \Omega(\lambda^\vee)$ の制約下では不可能であるため成り立つ。
• 同様に、$[\mathbb{e}_2, \mathbb{f}_1] = 0$ も背理法により検証され、$\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -2$ は $\Omega(\lambda^\vee)$ の制約下では実現不可能であるため成り立つ。