[論文レビュー] On the Action of the Symmetric Group on the Cohomology of Groups Related to (Virtual) Braids

Peter Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Geometric and Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、純および非純の仮想的・平坦なバターン群の有理コホモロジーにおける対称群 $S_n$ の作用を調査する。表現論とコーサル双対性を用いて、$H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ のコホモロジー加群を、1次元表現からの誘導 $S_n$-加群の和に分解し、一様な表現安定性を証明するとともに、graded characters のためのプレシスティックな公式とヒルベルト級数を導出する。さらに、十分大きな $n$ に対して、交代表現の重複度が 0 であることを示し、通常の純バターン群に対して既知の結果を再現する。

ABSTRACT

In this paper we consider the cohomology of four groups related to the virtual braids of [Kauffman] and [Goussarov-Polyak-Viro], namely the pure and non-pure virtual braid groups (PvB_n and vB_n, respectively), and the pure and non-pure flat braid groups (PfB_n and fB_n, respectively). The cohomologies of PvB_n and PfB_n admit an action of the symmetric group S_n. We give a description of the cohomology modules H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) as sums of S_n-modules induced from certain one-dimensional representations of specific subgroups of S_n. This in particular allows us to conclude that H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) are uniformly representation stable, in the sense of [Church-Farb]. We also give plethystic formulas for the Frobenius characteristics of these S_n-modules. We then derive a number of constraints on which S_n irreducibles may appear in H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q). In particular, we show that the multiplicity of the alternating representation in H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) is identical, and moreover is nil for sufficiently large $n$. We use this to recover the (previously known) fact that the multiplicity of the alternating representation in H^i(PB_n,Q) is nil (here PB_n is the ordinary pure braid group). We also give an explicit formula for H^i(vB_n,Q) and show that H^i(fB_n,Q)=0. Finally, we give Hilbert series for the character of the action of S_n on H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q). An extension of the standard `Koszul formula' for the graded dimension of Koszul algebras to graded characters of Koszul algebras then gives Hilbert series for the graded characters of the respective quadratic dual algebras.

研究の動機と目的

• 対称群 $S_n$ が純および非純の仮想的・平坦なバターン群の有理コホモロジーに作用する仕組みを理解すること。
• コホモロジー加群 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ を $S_n$-表現として分解すること。
• これらのコホモロジー加群に対して一様な表現安定性を確立すること。
• これらの $S_n$-作用のgraded characters に対するプレシスティックな公式とヒルベルト級数を導出すること。
• 特に交代表現を含む、各可約 $S_n$-表現が出現する条件を特定すること。

提案手法

• 純バターン群の群代数の関連する次数付き代数を用いて、コホモロジー加群を分析する。
• $\mathfrak{pvb}_n^!$ および $\mathfrak{pfb}_n^!$ の二次双対代数の最高次数成分における $S_n$ の作用を明示的に記述する。
• プレシスティックな公式を用いて、$S_n$-加群 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ のフロベニウス特徴を計算する。
• 関連する代数に対してコーサル複体を構成し、一般化されたコーサル公式 $A_\sigma(z)A_\sigma^!(-z) = 1$ を適用して特性関係を導出する。
• 特定の $S_n$ の部分群からの誘導表現の構造を用いて、コホモロジー加群を誘導 $S_n$-加群の直和として記述する。
• コーサル複体と特性解析を用いて、$H^i(f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ の消滅を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群 $S_n$ は、純仮想バターン群 $P\negthinspace v\negthinspace B_n$ の有理コホモロジーにどのように作用するか？
• RQ2 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ のコホモロジー加群が、特定の部分群の1次元表現からの誘導 $S_n$-加群の和として表現可能か？
• RQ3 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ の $S_n$-加群としての分解は、一様に表現安定的か？
• RQ4 可約 $S_n$-表現、特に交代表現が、これらのコホモロジー加群に出現するにあたり、どのような制約が存在するか？
• RQ5 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ における $S_n$-作用のヒルベルト級数およびgraded characters は何か？

主な発見

• コホモロジー加群 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ が、特定の $S_n$ の部分群の1次元表現からの誘導 $S_n$-加群の直和に分解されることを示した。
• コホモロジー加群は、チャーチとファーブの意味で一様な表現安定性を示す。これは、十分大きな $n$ に対して分解が安定することを意味する。
• $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ における交代表現の重複度は同一であり、十分大きな $n$ に対して 0 に消える。
• 非純な平坦バターン群のコホモロジーは、すべての $i$ に対して $H^i(f\negthinsp B_n,\mathbb{Q}) = 0$ を満たす。
• 非純な仮想バターン群のコホモロジーは、一般化されたコーサル公式を用いて $H^i(v\negthinsp B_n,\mathbb{Q})$ として明示的に計算された。
• $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ および $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ における $S_n$-作用のgraded characters のヒルベルト級数が導出され、コーサル公式を用いて、二次双対代数に対しても同様の結果が拡張された。