[論文レビュー] On the (adjacency) metric dimension of corona and strong product graphs and their local variants: combinatorial and computational results

Juan A. Rodríguez‐Velázquez, Henning Fernau|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、局所的隣接メトリック次元を導入し、コロナ積グラフの（局所的）メトリック次元とその因子グラフの（局所的）隣接メトリック次元の正確な関係を確立する。グラフの位数が $ n $ で非自明なグラフ $ H $ であるコロナ積のメトリック次元は、$ H $ の局所的隣接メトリック次元の $ n $ 倍に等しいことを証明しており、これにより、頂点被覆問題や支配集合問題からの帰着を用いて、これらのパラメータの計算について新たなNP困難性の結果が得られる。

ABSTRACT

The metric dimension is quite a well-studied graph parameter. Recently, the adjacency metric dimension and the local metric dimension have been introduced. We combine these variants and introduce the local adjacency metric dimension. We show that the (local) metric dimension of the corona product of a graph of order $n$ and some non-trivial graph $H$ equals $n$ times the (local) adjacency metric dimension of $H$. This strong relation also enables us to infer computational hardness results for computing the (local) metric dimension, based on according hardness results for (local) adjacency metric dimension that we also provide. We also study combinatorial properties of the strong product of graphs and emphasize the role different types of twins play in determining in particular the adjacency metric dimension of a graph.

研究の動機と目的

• 局所的隣接メトリック次元という新しいグラフ次元パラメータの変種としての概念を導入し、形式化すること。
• 因子グラフの（局所的）隣接メトリック次元に基づいて、コロナ積グラフの（局所的）メトリック次元の正確な組合せ的公式を確立すること。
• これらの公式を活用して、メトリック次元パラメータの計算における計算困難性の結果を導出すること。
• 双子同値類が、特にストロング積グラフにおける隣接メトリック次元を決定づける役割を果たすことを調査すること。
• 指数時間仮説（ETH）の下で、局所的メトリック次元および局所的隣接メトリック次元のNP完全性および指数時間下界を示すこと。

提案手法

• 隣接する頂点対を、近隣集合の交差に基づいて、$ S $ に属さないすべての頂点対を区別する最小サイズの集合 $ S $ として、局所的隣接メトリック次元を定義する。
• 位数 $ n $ のグラフ $ G $ とすると、コロナ積 $ G ullet H $ の（局所的）メトリック次元が、$ H $ の局所的隣接メトリック次元の $ n imes \text{dim}_{A,l}(H) $ に等しいことを証明する。
• この公式を用いて、既知のNP困難問題（例えば頂点被覆問題や支配集合問題）を、局所的隣接メトリック次元の計算に帰着する。
• 3-SAT問題からの直接的帰着により、LocAdjDim がNP完全であることを示し、標準的な頂点被覆問題の証明と類似した構造を持つ。
• 指数時間仮説（ETH）を適用し、$ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ のアルゴリズムが存在しないこと（ETHが成り立たない限り）を示す。
• ストロング積グラフにおける双子同値類の役割を分析し、隣接メトリック次元のNP困難性に不可欠であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロナ積グラフのメトリック次元とその因子グラフの局所的隣接メトリック次元との正確な関係は何か？
• RQ2 局所的隣接メトリック次元は効率的に計算可能か、それともNP困難か？
• RQ3 一般のグラフにおける局所的メトリック次元の計算複雑性は何か？また、平面グラフに対しても同様に困難であるか？
• RQ4 双子同値類は、ストロング積グラフにおける隣接メトリック次元にどのように影響を与えるか？
• RQ5 グラフ積の組合せ的公式を用いて、グラフ次元パラメータの新たな困難性の結果を導出できるか？

主な発見

• 位数 $ n $ のグラフ $ G $ とすると、コロナ積 $ G ullet H $ の（局所的）メトリック次元は、正確に $ H $ の局所的隣接メトリック次元の $ n $ 倍に等しい。
• 局所的隣接メトリック次元はNP完全であり、ETHを仮定すれば、$ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ のアルゴリズムは存在しない。
• 局所的メトリック次元に対しても同様にNP完全であり、ETHの下では、$ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ 形式の部分指数時間アルゴリズムは存在しない。
• 局所的隣接メトリック次元のNP困難性は、3-SATへの帰着により、平面グラフに対しても成立することが示された。
• 双子同値類は、隣接メトリック次元のNP困難性に不可欠であることが、帰着の構造と定理27の公式によって示された。
• 結果はストロング積グラフへも拡張可能であり、ここでは双子構造が隣接メトリック次元を決定づける重要な役割を果たす。