[論文レビュー] On the affine analogue of Jack's and Macdonald's polynomials

Pavel Etingof, Alexander Kirillov|ArXiv.org|Mar 28, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、アフィン根系 $\hat{A}_{n-1}$ に対するジャックおよびマクドナルドの対称多項式のアフィン類似を導入し、アフィン・サザンダーオペレータの固有関数として、またアフィンリーヒューリング代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ および量子アフィン代数の表現におけるインターリンカのトレースとして構成する。主な貢献は、マクドナルドの内積および特殊値恒等式をアフィン設定に一般化することであり、モジュラー群作用のユニタリティに関する予想と、コンフォーマル場理論の内積との関係が示唆される。

ABSTRACT

We define the analogue of Jack's (Jacobi) polynomials, which were defined for finite-dimensional root system by Heckman and Opdam as eigenfunctions of trigonometric Sutherland operator for the affine root system $\hat A_{n-1}$. In the affine case, we define the polynomials as eigenfunctions of "affine Sutherland operator", which is Calogero-Sutherland operator with elliptic potential plus the term involving derivative with respect to the modular parameter. We show that such polynomials can be constructed explicitly as traces of certain intertwiners for affine Lie algebra. Also, we define the q-analogue of this construction, which gives affine analogues of Macdonald's polynomials, and show the (conjectured) relation between the Macdonald's inner product identities for affine case and scalar product of conformal blocks in the WZW model.

研究の動機と目的

• アフィン根系 $\hat{A}_{n-1}$ に対するジャックおよびマクドナルドの対称多項式のアフィン類似を定義・研究し、有限次元理論を拡張する。
• これらの多項式を $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ モジュールにおけるインターリンカの正規化トレースとして表現論的に構成する。
• 可解モジュールの特徴関数のモジュラー不変性の性質を、アフィン・ジャック多項式の空間全体に一般化する。
• マクドナルドの特殊値恒等式のアフィン類似を予想し、アフィン・ジャック多項式空間上のモジュラー群作用のユニタリティを検討する。
• アフィン・ジャック多項式の内積が、ウェス＝ズミノ＝ウィッテン模型のコンフォーマルブロック内積と関係することを示唆し、有限次元内積の発散を正則化する手がかりを提示する。

提案手法

• 楕円関数を係数とする放物型微分作用素として、有限次元サザンダーオペレータを一般化したアフィン・サザンダーオペレータを定義する。
• 有限次元の場合と同様の三角不等式および固有値性質を用いて、このアフィン・サザンダーオペレータの固有関数としてアフィン・ジャック多項式を構成する。
• アフィンリーヒューリング代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ のヴェルマ加群と評価表現間のインターリンカのトレースとして、アフィン・ジャック多項式を実現する。これは [EK2] の有限次元構成を一般化する。
• 量子アフィン代数におけるインターリンカのトレースとして、アフィン・ジャック多項式の $q$-変形としてアフィン・マクドナルド多項式を定義する。
• 固定レベルにおけるアフィン・ジャック多項式の張る空間のモジュラー性を研究し、ある重みを持つモジュラー不変性を示す。
• この空間上のモジュラー群の射影的表現が、非自明な内積に関してユニタリであると予想する。これは、コンフォーマルブロック内積と一致する可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャックおよびマクドナルドの多項式は、固有関数および三角基底としての定義的性質を保ちつつ、アフィン根系 $\hat{A}_{n-1}$ にどのように一般化できるか？
• RQ2 アフィンリーヒューリング代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ のインターリンカの観点から、アフィン・ジャック多項式の表現論的解釈は何か？
• RQ3 アフィン・ジャック多項式は、可解モジュールの特徴関数と類似したモジュラー不変性を満たすか？
• RQ4 アフィン・ジャック多項式の空間上の内積はユニタリか？ また、ウェス＝ズミノ＝ウィッテン模型のコンフォーマルブロック内積と一致するか？
• RQ5 アフィン・マクドナルド多項式に対して、マクドナルドの特殊値恒等式のアフィン類似を定式化し、証明できるか？

主な発見

• アフィン・ジャック多項式は、係数が楕円関数である放物型微分作用素であるアフィン・サザンダーオペレータの固有関数として定義される。
• これらの多項式は、$\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ のヴェルマ加群と評価表現間のインターリンカの正規化トレースとして生じ、有限次元構成を拡張する。
• 固定レベルにおけるアフィン・ジャック多項式の空間は、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の作用に対してモジュラー不変であり、明確な重みを持つ。これは、特徴関数のモジュラー不変性を一般化する。
• アフィン・ジャック多項式空間上のモジュラー群の射影的表現は、有限次元の特徴関数とは異なり、無限次元になり得る。
• アフィン・ジャック多項式の内積は、ユニタリであると予想され、ウェス＝ズミノ＝ウィッテン模型のコンフォーマルブロック内積と一致する。マクドナルド内積恒等式が $p \to 1$ に近づく際の振る舞いによって、発散する有限次元内積の正則化が示唆される。
• アフィン・マクドナルド多項式に対して、マクドナルドの特殊値恒等式のアフィン類似が予想され、右辺は有理数における $\Gamma$-関数の形で表される。これは既知のCFTの結果と整合する。