[論文レビュー] On the Albanese map for smooth quasi-projective varieties

M. Spieß, Tamás Szamuely|ArXiv.org|Sep 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかなコンpactificationを持つ滑らかな準射影的多様体に対するアーベル関数の写像を一般化し、0次代数的特異ホモロジー群から一般化されたアーベル関数多様体への写像が、p以外の素数の torsion 部分群上で同型を誘導することを証明する。これは有限体上の加藤＝斎藤の結果を拡張し、ヴォエヴォズキーの圏におけるモチビックホモトピー論と双対性定理を用いて、特異コホモロジー群とエタールコホモロジー群の比較により同型を確立する。

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field and X a smooth projective k-variety. A famous theorem of A. A. Roitman states that the canonical map from the degree zero part of the Chow group of zero cycles on X to the group of k-points of its Albanese variety induces an isomorphism on torsion prime to the characteristic of k. In the present paper we prove a generalisation to quasi-projective varieties admitting a smooth compactification. As was first observed by Ramachandran, for such a generalisation one should replace the Chow group of zero cycles by Suslin's 0-th algebraic singular homology group and the Albanese variety by the generalised Albanese of Serre. The method of proof is new even in the projective case and makes the motivic nature of the Albanese transparent. We also prove that the generalised Albanese map is an isomorphism if k is the algebraic closure of a finite field.

研究の動機と目的

• 特異的多様体から滑らかな準射影的多様体へのアーベル関数写像に関するロイトマンの定理を拡張すること。
• 非特異的状況における torsion 部分群へのアーベル関数写像の全単射性を、一般化されたアーベル関数多様体を用いて確立すること。
• 有限体上での加藤＝斎藤の結果を準射影的状況に一般化し、アーベル関数写像が有限核を持つ torsion 群の同型であることを証明すること。
• ヴォエヴォズキーの有効モチビック複体の三角圏と双対性定理を用いた概念的証明を提供すること。

提案手法

• アーベル関数写像の定義域として、特異的状況における $CH_0(X)^0$ を一般化したSuslinの代数的特異ホモロジー群 $h_0(X)^0$ を用いる。
• 一般化されたアーベル関数多様体をヴォエヴォズキーの圏 $DM^{eff}_{-}(k)$ の対象として解釈し、その関手的性質とホモトピー不変性を活用する。
• ススリンとヴォエヴォズキーによる、$h^1(X, ζ/nζ)$ と $H^1_{ét}(X, ζ/nζ)$ の基本的同型を用いて、特異コホモロジーとエタールコホモロジーを関連付ける。
• 一般化されたアーベル関数多様体とパッフィアン多様体の双対性を用いて、終域群の構造を確立する。
• 単純分岐クラス体論とガロア固定部分群を用いて、有限体上でのアーベル関数群の構造を解析する。
• 超平面切断の議論により問題を曲線に還元し、既知の曲線のアーベル関数写像の結果を用いて一般の場合を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなコンパクト化を持つ滑らかな準射影的多様体 $X$ に対して、$h_0(X)^0$ から $Alb_X(k)$ へのアーベル関数写像が、p以外の素数の torsion 部分群上で同型を誘導するか。
• RQ2 正の特性の代数閉体上で、加藤＝斎藤のアーベル関数写像の全単射性が非特異的状況に拡張可能か。
• RQ3 有限体上の多様体に対して、一般化されたアーベル関数写像は単純分岐クラス体論の再帰律と整合するか。
• RQ4 アーベル関数写像はヴォエヴォズキーの有効モチビック複体の三角圏における準同型として解釈可能か。

主な発見

• 任意の代数閉体 $k$ とその滑らかなコンパクト化を持つ滑らかな準射影的多様体 $X$ に対して、アーベル関数写像 $alb_X: h_0(X)^0 \to Alb_X(k)$ は、p以外の素数の torsion 部分群上で同型を誘導する。
• 正の特性の代数閉体（有限体の代数的閉包）上では、写像 $alb_X$ は有限核を持つ torsion 群の同型である。
• 証明は、アーベル関数写像がヴォエヴォズキーの圏 $DM^{eff}_{-}(k)$ の射として特定できることに依拠し、モチビック双対性とコホモロジー比較定理を適用可能にする。
• 主な技術的ステップは、$h^1(X, ζ/nζ)$ と $H^1_{ét}(X, ζ/nζ)$ の同型であり、これによりコホモロジー情報がアーベル関数群に移行可能である。
• この結果はロイトマンの定理を準射影的状況に一般化し、加藤＝斎藤の結果を特異的状況を超えて拡張する。
• 付随的な結果として、自然な写像 $h_0(X_{ε}) \to h_0(X)$ は、再帰序列から得られる群 $T$ に同型な有限核を持つことが示され、ホモロジー群の構造的性質が確認される。