[論文レビュー] On the algebraic variety of Hom-Lie algebras

Elisabeth Remm, Michel Goze|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特性が0の代数的閉体上の $ n $-次元 Hom-Lie代数の集合が、アフィン空間 $ \mathbb{K}^{n^2(n-1)/2} $ の歪対称代数の部分多様体として代数的多様体をなすことを確立している。$ n=3 $ の場合、すべての歪対称代数が Hom-Lie であることを示し、$ n=4 $ の場合、Hom-Lie代数は超曲面をなす。さらに、Hom-Lie代数に関連する唯一の二項二次的オペラッドは Lie オペラッドであることが特定され、Hom-Lie代数は Lie 代数を除いて他の二次的オペラッドを一般化しないことが示された。

ABSTRACT

The set HLie(n) of the n-dimensional Hom-Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic zero is provided with a structure of algebraic subvariety of the affine plane of dimension n^2(n-1)/2}. For n=3, these two sets coincide, for n=4 it is an hypersurface in K^{24}. For n>4, we describe the scheme of polynomial equations which define HLie(n). We determine also what are the classes of Hom-Lie algebras which are P-algebras where P is a binary quadratic operads.

研究の動機と目的

• $ n $-次元 Hom-Lie代数の集合が歪対称代数の空間内に代数的部分多様体として定立されることを示すこと。
• 次元 $ n=3 $ および $ n=4 $ における Hom-Lie代数を分類し、すべての3次元歪対称代数が Hom-Lie であること、および $ \mathcal{H}Lie_4 $ が $ \mathbb{K}^{24} $ 内の超曲面であることを示すこと。
• どの二項二次的オペラッド $ \mathcal{P} $ が、その $ \mathcal{P} $-代数が Hom-Lie代数となるかを特定すること。
• Hom-Jacobi恒等式を符号する行列 $ M_\mu $ の核を分析し、Hom-Lie代数の背後にあるオペラッド的構造を同定すること。

提案手法

• 構造定数 $ C_{i,j}^k $ を用いて $ n $-次元 Hom-Lie代数を表現し、歪対称代数として $ \mathbb{K}^{n^2(n-1)/2} $ に埋め込む。
• 循環和 $ \circlearrowleft_{x,y,z} \mu(\mu(x,y),\alpha(z)) = 0 $ を用いて Hom-Jacobi恒等式を定義し、その恒等式を符号する行列 $ M_\mu $ を構成する。$ M\_\mu $ の核が有効な Hom-Lie 構造を決定する。
• 対称群 $ \sum_n $ の作用を用いて $ M_\mu $ の核内における $ \sum_n $-不変関係を同定し、オペラッド的構造にたどり着く。
• $ n=3 $ および $ n=4 $ における $ M_\mu $ の核を分析し、$ \mathcal{H}Lie_n $ を代数的多様体として定義する多項式方程式を導出する。
• 特に $ f = \text{Id} $ の場合を含めた、$ \ker M_\mu $ 内の自己準同型 $ f $ の役割を調査し、Hom-Jacobi恒等式が古典的 Jacobi 恒等式に還元される条件を特定する。
• 歪対称積に関する $ \mathcal{F}(E)(3) $ および $ \mathcal{P}(3) $ の構造を分析し、二項二次的オペラッドの中で Hom-Lie代数と整合するものは Lie オペラッドのみであることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次元 $ n $ に対して、$ n $-次元 Hom-Lie代数の多様体が歪対称代数の空間の真の部分多様体となるか？
• RQ2 $ n=3 $ および $ n=4 $ における $ \mathcal{H}Lie_n $ の幾何的構造は何か？また、$ n \geq 5 $ の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 どの二項二次的オペラッド $ \mathcal{P} $ に対して、$ \mathcal{P} $-代数が Hom-Lie代数となるか？
• RQ4 Hom-Jacobi恒等式はオペラッド的構造として解釈可能か？もしそうならば、どのオペラッドがそれと整合するか？
• RQ5 なぜ $ M_\mu $ の核は、二項二次的オペラッドの中で Lie オペラッドのみを生成するのか？

主な発見

• $ n=3 $ の場合、すべての3次元歪対称代数が Hom-Lie代数である。つまり、$ \mathcal{H}Lie_3 = \mathcal{SA}lg_3 $ である。
• $ n=4 $ の場合、集合 $ \mathcal{H}Lie_4 $ は $ \mathbb{K}^{24} $ 内の超曲面をなす。これは Hom-Jacobi恒等式から導かれる4つの独立した多項式方程式によって定義される。
• $ n \geq 5 $ の場合、多様体 $ \mathcal{H}Lie_n $ は Hom-Jacobi恒等式を符号する多項式方程式系によって定義されるが、論文では全系を明示的に列挙していない。
• 二項二次的オペラッド $ \mathcal{P} $ で、$ \mathcal{P} $-代数が Hom-Lie代数となるのは、Lie オペラッド $ \mathcal{L}ie $ のみである。これは $ f = \text{Id} $ の場合に対応する。
• $ M_\mu $ の核には、$ \sum_3 $-不変構造として Lie オペラッドのみが含まれる。他の可能性のある自己準同型 $ f $ は、自明または不変でない関係を生じさせ、他の二項二次的オペラッドを除外する。
• $ \ker M_\mu $ 内の $ v_f $ の分析により、$ a_1 = b_2 = c_3 = d_4 = 1 $ かつ $ f = \text{Id} $ の場合にのみ、非自明な $ \sum_3 $-不変系が得られ、Lie オペラッドが唯一の候補であることが確認された。