[論文レビュー] On the Almost Everywhere Continuity

Joël Blot|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Advanced Banach Space Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな区間上の実数値関数について、Lebesgueほとんど everywhere 連続性の特徴づけを確立し、関数がほとんど everywhere で有限な片側極限を持つならば、それがほとんど everywhere で連続であることを示している。主な貢献は、ほとんど everywhere で有限な片側極限の存在に基づくリーマン積分可能性の十分条件の確立にある。

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide characterizations of the Lebesgue-almost everywhere continuity of a function f : [a, b] $ ightarrow$ R. These characterizations permit to obtain necessary and sufficient conditions for the Riemann integrability of f .

研究の動機と目的

• Lebesgue測度に関してほとんど everywhere で連続である関数を特徴づけること。
• 有限な片側極限の存在に基づく、リーマン積分可能性の必要十分条件を確立すること。
• レモンディエールおよびサアダの規制関数の不連続点集合に関する結果を一般化すること。
• Lebesgue測度の文脈において、片側極限、振動、連続性の関係を明確にすること。
• 振動関数と測度論的道具を用いた不連続点集合の分析のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 点における不連続性の深刻さを定量化するために、左側および右側の振動関数 $\omega_L(x)$ と $\omega_R(x)$ を導入する。
• 同値関係：$\omega_L(x) = 0$ であることは、$f$ が $x$ で左連続であることと同値であり、同様に $\omega_R(x)$ に対しても成り立つ。
• 測度論的議論の適用：正の測度を持つ集合は、正の測度を持つ区間の非可算な互いに素な和集合にはなり得ない。
• 関数 $f$ がほとんど everywhere で有限な右側極限を持つならば、$\omega_L(x) = 0$ almost everywhere であることを示す重要な補題を用いる。
• 片側極限がほとんど everywhere で有限ならば、不連続点の集合はLebesgue測度で無視できる（または高々可算集合）ことの証明。
• 無視できる集合の和集合を用いた左連続性と右連続性の結果を統合し、ほとんど everywhere 連続性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界関数 $f$ が $[a,b]$ 上で片側極限の振る舞いに基づいて、いつリーマン積分可能となるか。
• RQ2 ほとんど everywhere で有限な片側極限が存在することは、いつ almost everywhere 連続性を意味するか。
• RQ3 振動関数 $\omega_L$ と $\omega_R$ は、不連続点集合の構造とどのように関係するか。
• RQ4 関数の不連続点集合を、片側極限の存在のみによって完全に特徴づけられるか。
• RQ5 不連続点集合の大きさと、有限な片側極限の存在との正確な関係は何か。

主な発見

• 関数 $f$ が $[a,b)$ のすべての点で有限な右側極限を持つが、Lebesgue測度で無視できる集合を除いては、$f$ は $[a,b]$ 上で almost everywhere で連続である。
• 関数 $f$ が不連続である点の集合がLebesgue測度で無視できる（または高々可算集合）ことと、$f$ が有限な左側または右側極限を持たない点の集合がLebesgue測度で無視できることは同値である。
• 有界関数に対しては、リーマン積分可能性は、不連続点集合がLebesgue測度で無視できることと同値であり、それはまた、ほとんど everywhere で有限な片側極限が存在することと同値である。
• 関数 $f$ が $[a,b]$ 上で右連続または左連続であるならば、その不連続点集合は高々可算集合であり、したがって有界であればリーマン積分可能である。
• 振動関数 $\omega_L$ と $\omega_R$ は不連続性の正確な測度を提供し、$\omega_L(x) = 0$ であることは、$f$ が $x$ で左連続であることと同値である。
• Lebesgue測度で無視できる集合（例えば、$\omega_L > 0$ および $\omega_R > 0$ である点の集合）の和集合もまたLebesgue測度で無視できるため、提示された条件下で almost everywhere 連続性が保証される。