[論文レビュー] On the almost sure running maxima of solutions of affine neutral stochastic functional differential equations

John A. D. Appleby, Huizhong Appleby-Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限遅れを伴うアフィン中立型確率的関数微分方程式（SNFDE）の解の走査的最大値の正確な概収率成長率を確立する。決定論的リゾルベントの指数的減衰とガウス過程理論を組み合わせることで、著者らは走査最大値が概収率で √(2 log t) の割合に比例して成長することを証明した。成長定数は系の拡散係数とリゾルベントの性質によって決定される。

ABSTRACT

This paper studies the large fluctuations of solutions of finite--dimensional affine stochastic neutral functional differential equations with finite memory, as well as related nonlinear equations. We find conditions under which the exact almost sure growth rate of the running maximum of each component of the system can be determined, both for affine and nonlinear equations. The proofs exploit the fact that an exponentially decaying fundamental solution of the underlying deterministic equation is sufficient to ensure that the solution of the affine equation converges to a stationary Gaussian process.

研究の動機と目的

• アフィン中立型確率的関数微分方程式（SNFDE）の解の走査最大値の正確な概収率成長率を特定すること。
• 従来の安定性理論を漸近的に安定でないSNFDEに拡張し、収束ではなく大規模なフラクチュエーションに焦点を当てる。
• 指数的減衰するリゾルベントのおかげで解過程が定常ガウス過程のように振る舞う条件を確立すること。
• 遅れ項に測度に基づく定式化を用いて、点遅れおよび分布遅れの両方を分析すること。
• 適切な減衰条件の下で、アフィンSNFDEの弱非線形摂動へ結果を拡張すること。

提案手法

• 基礎となる決定論的方程式の微分リゾルベントを用い、指数的減衰を仮定することで解の漸近的定常性を保証する。
• アフィンSNFDEの解を、連続的に微分可能なリゾルベントを持つ関連する非中立型SFDEの摂動として表現し、先行研究の解析的手法を再利用可能にする。
• 時間区間における過程の上界を制御するために、ノルム同値性と最大不等式の議論を用いる。
• 極限ガウス過程への繰り返し対数法則を適用し、走査最大値の概収率成長率を導出する。
• ε-近似とグロワールド型不等式を用いたブートストラップ的議論により、元の過程と補助的過程との差を評価する。
• 正規化過程の上極限と下極限の解析を通じて、正規化走査最大値が確実にある定数に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限遅れを伴うアフィン中立型SFDEの解の走査最大値の正確な概収率成長率は何か？
• RQ2 アフィンSNFDEの解が定常ガウス過程に収束する条件は何か？
• RQ3 遅れ導関数（中立項）の存在が、非中立型方程式と比較して概収率漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 リゾルベントが微分可能でない場合、すなわち中立型方程式においても、走査最大値の成長率を特徴づけられるか？
• RQ5 非線形摂動に対する結果は、どの程度アフィンSNFDEへ拡張可能か？

主な発見

• 解過程の各成分の走査最大値は、概収率で √(2 log t) の割合に比例して成長し、成長定数は拡散係数行列の i 番目の成分 σ_i に等しい。
• 各成分 i に対して、limsup_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i が概収率で成り立つ。
• liminf_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i も概収率で成り立つため、正規化過程が成長率 σ_i の周囲を振動することを示す。
• 解の最大ノルムについて、limsup_{t→∞} |X(t)|_∞ / √(2 log t) = max_{1≤i≤d} σ_i が概収率で成り立つ。
• 解 X(t) とその極限ガウス過程 Y(t) の差は、√(2 log t) に対して無視可能になる。すなわち、|X_i(t) - Y_i(t)| / √(2 log t) → 0 a.s. となる。
• 非線形性が線形部に比べて漸近的に無視可能である条件の下で、結果は弱非線形摂動を伴うアフィンSNFDEへ拡張可能である。