[論文レビュー] On the Aluthge transform: continuity properties and Brown measure

Ken Dykema, Hanne Schultz|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、トレース的 von Neumann 系理における有界線形作用素 T のアリュースゲ変換を調査し、ノルム位相および ∗–SOT 位相の下での連続性を証明する。ブラウン測度がアリュースゲ変換に関して不変であることを確立し、反復アリュースゲ変換が、T と同一のブラウン測度を持つ正規作用素に収束することを示す。収束の解析に重要な技術的道具として、二項係数を重みとするエゴード的性質の定理を用いる。

ABSTRACT

space operator T, where T = U|T | is the polar decomposition of T. We prove that the map T ↦ → � T is continuous with respect to the norm topology and with respect to the ∗–SOT topology on bounded sets. For T in a tracial von Neumann algebra, we show that the Brown measure is unchanged by the Aluthge transform. We consider the special case when U implements an automorphism of the von Neumann algebra generated by the positive part |T | of T, and we prove that the iterated Aluthge transform converges to a normal operator whose Brown measure agrees with that of T (and we compute this Brown measure). This proof relies on a theorem that is an analogue of von Neumann’s mean ergodic theorem, but for sums weighted by binomial coefficients. 1.

研究の動機と目的

• ノルム位相および ∗–SOT 位相の下でのアリュースゲ変換の連続性の性質を分析すること。
• トレース的 von Neumann 系理におけるアリュースゲ変換の下でのブラウン測度の挙動を調査すること。
• ユニタリ部が |T| で生成される代数上の自己同型を実現する場合、反復アリュースゲ変換の極限を特定すること。
• 収束解析のための道具として、二項係数を重みとする新規のエゴード的定理を確立すること。

提案手法

• アリュースゲ変換は、T = U|T| (T の極分解) であるとき、\tilde{T} = |T|^{1/2} U |T|^{1/2} と定義される。
• 有界集合上でノルム収束および ∗–SOT 収束を用いて、アリュースゲ変換の連続性を証明する。
• トレース的 von Neumann 系理に属する作用素に対して、ブラウン測度がアリュースゲ変換に関して不変であることを確立する。
• ヴァン・ネウマンの平均エゴード定理の類似として、二項係数を重みとするエゴード定理を発展させ、反復変換の収束解析を可能にする。
• ユニタリ部 U が |T| で生成される von Neumann 系理上で自己同型を実現するという仮定の下で、反復アリュースゲ変換が正規作用素に収束することを示す。
• 極限正規作用素のブラウン測度を計算し、元の作用素 T のブラウン測度と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アリュースゲ変換は、有界作用素上のノルム位相に関して連続か？
• RQ2 トレース的 von Neumann 系理において、アリュースゲ変換の下でもブラウン測度は不変か？
• RQ3 反復アリュースゲ変換が正規作用素に収束する条件は何か？
• RQ4 反復変換の収束解析に用いることのできる、二項係数を重みとするエゴード的性質の定理を定式化できるか？
• RQ5 反復アリュースゲ変換から得られる極限正規作用素のブラウン測度は何か？

主な発見

• アリュースゲ変換は、有界集合上でノルム位相に関して連続である。
• アリュースゲ変換は、有界集合上で ∗–SOT 位相に関して連続である。
• トレース的 von Neumann 系理における作用素のブラウン測度は、アリュースゲ変換に関して不変である。
• ユニタリ部 U が |T| で生成される von Neumann 系理上で自己同型を実現する場合、反復アリュースゲ変換は正規作用素に収束する。
• 極限正規作用素のブラウン測度は、元の作用素 T のブラウン測度と同一である。
• 収束は、ヴァン・ネウマンの平均エゴード定理に類似した、二項係数を重みとする新規のエゴード的定理を用いて確立される。