[論文レビュー] On the Amenability of Compact and Discrete Hypergroup Algebras

Ahmadreza Azimifard|ArXiv.org|Aug 11, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換なコンパクト超群 $K$ の超群代数 $L^1(K)$ がアメニタリーであるための必要十分条件として、双対空間 $\widehat{K}$ 上のプランシュレ測度 $\pi_K$ が有界であることであることを確立している。無限離散超群の場合、$\widehat{K}$ に無限に減少する文字 $\alpha$ が存在するならば $L^1(K)$ はアメニタリーでなく、さらに $\pi_K(\{\alpha\}) = 0$ である場合には $\alpha$-左アメニタリーすら満たさない。これらの結果は、双対性と加群論的導来を用いて、群代数におけるアメニタリー基準を超群代数へと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $K$ be a commutative compact hypergroup and $L^1(K)$ the hypergroup algebra. We show that $L^1(K)$ is amenable if and only if $π_K$, the Plancherel weight on the dual space $\widehat{K}$, is bounded. Furthermore, we show that if $K$ is an infinite discrete hypergroup and there exists $α\in \widehat{K}$ which vanishes at infinity, then $L^1(K)$ is not amenable. In particular, $L^1(K)$ fails to be even $α$-left amenable if $π_K(\{α\})=0$.

研究の動機と目的

• 可換コンパクト超群 $K$ に対して、超群代数 $L^1(K)$ がアメニタリーであるための条件を同定すること。
• 群代数における既知のアメニタリー基準を、超群代数のより広い設定へと拡張すること。
• 双対空間 $\widehat{K}$ 上のプランシュレ測度 $\pi_K$ が $L^1(K)$ のアメニタリー性をどのように決定するかを調査すること。
• 無限離散超群において、無限に減少する文字を持つ場合のアメニタリー性の失敗を分析すること。
• 超群代数の文脈において、アメニタリー性と $\alpha$-左アメニタリー性の違いを明確にすること。

提案手法

• 双対空間 $\widehat{K}$ 上のプランシュレ測度 $\pi_K$ の有界性を用いて、可換コンパクト超群 $K$ に対する $L^1(K)$ のアメニタリー性の特徴づけを確立した。
• 畳み込み写像 $\pi$ を根拠として、$L^1(K) \otimes_p L^1(K)$ に有界な近似対角が存在することをアメニタリー性の基準とした。
• 適切なバナッハ $L^1(K)$-双加群 $X$ に対して、非内因的導来 $D: L^1(K) \to X$ を構成し、$\pi_K$ が無有界である場合には $D$ が内因的でないことを示した。
• $X^*$ 上の加群構造と、$\alpha \in \widehat{K}$ を通じた $L^1(K)$ の作用を用いて $\alpha$-左加群作用を定義し、$\alpha$-左アメニタリー性を分析した。
• フーリエ＝スタイリーツ変換を用い、ホモモーフィズム $\varphi_\alpha(f) = \widehat{f}(\alpha)$ の核を通じた極大イデアルの同定を実施した。
• 双対性および弱-*位相の議論を用いて、$X$ が双対加群であることを示し、$X$ への導来が適切に定義されかつ連続であることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換コンパクト超群 $K$ に対して、超群代数 $L^1(K)$ がいつアメニタリーであるか？
• RQ2 双対空間 $\widehat{K}$ 上のプランシュレ測度 $\pi_K$ は、$L^1(K)$ のアメニタリー性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 離散超群 $K$ と $\alpha \in \widehat{K}$ に対して、$L^1(K)$ がいつ $\alpha$-左アメニタリーでさえも満たさないか？
• RQ4 群代数におけるアメニタリー基準を、特にコンパクトおよび離散設定において超群代数へ一般化できるか？
• RQ5 文字の無限に減少する振る舞いと、離散超群における $L^1(K)$ の非アメニタリー性との関係は何か？

主な発見

• 超群代数 $L^1(K)$ は、双対空間 $\widehat{K}$ 上のプランシュレ測度 $\pi_K$ が有界であることと、かつそのときに限りアメニタリーである。
• 無限離散超群 $K$ に対して、$\widehat{K}$ に無限に減少する文字 $\alpha$ が存在するならば、$L^1(K)$ はアメニタリーでない。
• このような $\alpha$ に対して $\pi_K(\{\alpha\}) = 0$ であるならば、$L^1(K)$ は $\alpha$-左アメニタリーすら満たさない。
• もし $\pi_K(\{\alpha\}) > 0$ であれば、$L^1(K)$ は依然としてアメニタリーでない可能性はあり得るが、$\alpha$-左アメニタリーである可能性は残る。
• ジャコビ多項式超群 $K = [-1,1]$ の場合、$L^1(K)$ は $\alpha = \beta = -\frac{1}{2}$ のときに限りアメニタリーであり、これは有界なプランシュレ重みに対応する。
• コンパクト $P_*$-超群 $H_a$ の場合、$k \geq 1$ に対して $\pi(k) = \frac{1-a}{a^k}$ であり、$k \to \infty$ のとき無限大に発散するため、$L^1(H_a)$ はアメニタリーでない。