[論文レビュー] On the Annihilation of Thin Sets

Tomer Amit, Alexander Olevskiı̆|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ S \subset \mathbb{R} $ が有限測度かつ周期的ギャップを持つ場合、$ Q \subset \mathbb{R} $ が密度ゼロであるならば、ペair $ (S, Q) $ は弱い消滅性を有することを確立する—非自明な $ L^2 $ 関数が $ S $ に台を持つと同時にそのフーリエ変換が $ Q $ に台を持つことは不可能である。しかし、一般には強い消滅性は成り立たないことが、反例によって示されている。その反例では、一様な $ L^2 $ ノルム制御条件を満たさないペairが構成されている。

ABSTRACT

One says that a pair of sets $(S,Q)$ in $\mathbb{R}$ is 'annihilating' if no function can be concentrated on $S$ while having its Fourier transform concentrated on $Q$. One uses to distinguish between weak and strong annihilation types. It is well known that if both sets $S$ and $Q$ are of finite measure then they are strongly annihilating. In this paper we prove that if $S$ is a set of finite measure with periodic gaps, and $Q$ is a set of density zero, then weak annihilation holds. On the other hand a counter-example is constructed, showing that strong annihilation, in general, does not.

研究の動機と目的

• 有限測度かつ周期的ギャップを持つ $ S $ と密度ゼロである $ Q $ を持つペア $ (S, Q) $ の消滅性を調査すること。
• このようなペアが弱い消滅性または強い消滅性を満たすかどうかを、有限測度集合に関する既知の結果と対比して特定すること。
• 同じ条件下で強い消滅性が一般に成り立たないことを示す反例を構築すること。
• 対称的または有界スペクトル設定を超えた調和解析における不確定性原理の理解を拡張すること。

提案手法

• パレ-・ウィーナー空間 $ \mathrm{PW}_S $ の枠組みを用いる。ここで $ \mathrm{PW}_S $ は、$ L^2(S) $ の逆フーリエ変換による像として定義される。
• 関数が集合 $ \Lambda $ で消えるならば恒等的にゼロでなければならないような、$ \mathrm{PW}_S $ の一意性集合（US）の概念を適用する。
• 文献[OU11]の補題1を用い、$ \{a_j\} $ が $[0,1]$ で稠密であるとき、$ Z_j + a_j $ の和集合として一意性集合を構成する。
• ベルリング＝マリヴァインの定理（定理B）を用いて、$ L^1 $-に基づくフーリエ空間に対して特定の整数集合が一意性集合であることを保証する。
• 周期的ギャップと小さな測度を持つ集合 $ S_n $ に台を持つ関数列 $ f_n \in \mathrm{PW}_{S_n} $ を構成し、$ \|f_n\|_{L^2(Q_n^c)} \leq \frac{1}{n}\|f_n\|_{L^2} $ を満たすようにする。
• これらの関数を互いに素な和集合により統合し、全体のペア $ (S, Q) $ を構成する。このとき $ Q $ は密度ゼロであり、$ S $ は周期的ギャップと有限測度を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限測度かつ密度ゼロの $ Q $ を持つペア $ (S, Q) $ が弱い消滅性を満たす条件は何か？
• RQ2 $ S $ に周期的ギャップがある場合、$ Q $ が無限測度であっても弱い消滅性は成立するか？
• RQ3 同じ条件下で強い消滅性は保たれるのか、それとも反例を構成できるか？
• RQ4 $ S $ の周期的ギャップ構造と $ Q $ の密度ゼロ条件が、消滅性に与える影響は何か？
• RQ5 構築された反例を、[SVW98] の意味での $ \epsilon $-薄型にできるか？すなわち、原点からの距離が大きくなるに従いギャップサイズを距離に相対的に制御できるか？

主な発見

• $ S $ が有限測度かつ周期的ギャップを持つ場合、$ Q $ が密度ゼロであれば、ペア $ (S, Q) $ は弱い消滅性を有する。非自明な $ L^2 $ 関数が $ S $ に台を持ち、同時にそのフーリエ変換が $ Q $ に台を持つことは不可能である。
• 有限測度かつ周期的ギャップを持つ $ S $ と密度ゼロの $ Q $ を持つが、$ (S, Q) $ が強い消滅性を満たさない反例が構築された。
• 反例では、$ \|f_n\|_{L^2(Q_n^c)} \leq \frac{1}{n}\|f_n\|_{L^2} $ を満たす関数列 $ f_n \in \mathrm{PW}_{S_n} $ が用いられ、強い消滅性における一様なノルム制御の失敗が示された。
• 反例における集合 $ Q $ は、任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ \epsilon $-薄型にできる。薄さは $ |x| \to \infty $ に伴い向上し、$ |Q \cap [x - \rho(x), x + \rho(x)]| \leq 2\epsilon \rho(x) $ を満たす。
• 構成により、$ S = \bigcup_n S_n $ は有限測度かつ周期的ギャップを持つ一方、$ Q = \bigcup_n (Q_n + 2N) $ は密度ゼロであることが保証される。
• 証明はベルリング＝マリヴァインの定理と、フェージェール核を用いた $ f_n $ の $ Q_n $ 上での $ L^2 $ ノルムの局所化に依存しており、$ Q_n $ 外でのノルムの制御も行われている。