[論文レビュー] On the Approximability of Presidential Type Predicates

Neng Huang, Aaron Potechin|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、他の変数よりも顕著に高い重みを持つ「大統領」変数を含むバランスの取れた線形しきい関数（大統領型述語）のほとんどが、半定値計画法における個々の偏りと対ごとの偏りの両方を活用する新しいラウンディング方式によって近似可能であることを確立している。主な結果として、十分に大きな項数 k および重み δk（δ ∈ (δ₀, 1 − 2/k]）に対して、このような述語は定数倍近似可能であり、これは対ごとの偏りが低次のスキームを超えてこの近似を達成するために不可欠であることを示している。

ABSTRACT

Given a predicate $P: \{-1, 1\}^k o \{-1, 1\}$, let $CSP(P)$ be the set of constraint satisfaction problems whose constraints are of the form $P$. We say that $P$ is approximable if given a nearly satisfiable instance of $CSP(P)$, there exists a probabilistic polynomial time algorithm that does better than a random assignment. Otherwise, we say that $P$ is approximation resistant. In this paper, we analyze presidential type predicates, which are balanced linear threshold functions where all of the variables except the first variable (the president) have the same weight. We show that almost all presidential-type predicates $P$ are approximable. More precisely, we prove the following result: for any $δ_0 > 0$, there exists a $k_0$ such that if $k \geq k_0$, $δ\in (δ_0,1 - 2/k]$, and $δk + k - 1$ is an odd integer then the presidential type predicate $P(x) = sign(δk{x_1} + \sum_{i=2}^{k}{x_i})$ is approximable. To prove this, we construct a rounding scheme that makes use of biases and pairwise biases. We also give evidence that using pairwise biases is necessary for such rounding schemes.

研究の動機と目的

• 大統領変数（「大統領」）の重みが他の変数よりも顕著に高いバランスの取れた線形しきい関数のクラスである大統領型述語の近似可能性を特定すること。
• このような述語が、多項式時間アルゴリズムを用いてランダム割り当てよりも優れた近似が可能かどうかを調査すること。
• 非自明な近似比を達成するためのラウンディング方式において、対ごとの偏りがなぜ必要不可欠であるかを分析すること。
• 先行の近似不能性結果を拡張し、大統領型述語がいつ近似可能になるかの条件を同定すること。
• 個々の偏りのみに依存する低次のラウンディング方式における構造的制限を調査すること。

提案手法

• 標準的な半定値計画法の緩和から得られる偏り {bi} および対ごとの偏り {bij} を用いたラウンディング方式を構築する。
• 述語のフーリエ解析を用いて、大統領のフーリエ係数 ˆPP と市民のフーリエ係数 ˆPC の大きさを比較し、ˆPP が指数的に大きいことを示す。
• すべての次数 a（a ≤ m）のモーメントが消えるように、KTW多面体上の点の混合戦略分布 µ を設計し、過剰または不足の満たしに偏らないようにする。
• 特定の符号パターンを持つ点の確率的構成を用い、次数 1, 3, 4, 5 の寄与をバランスさせる。高影響項のための指数的に小さい確率を用いる。
• 固定された m に対して、対ごとの偏りを用いない固定次数のラウンディング方式では、高次モーメントをバランスできないため、失敗することを示し、このような方式が成功できないことを証明する。
• KTW多面体フレームワークを用いて、妥当な偏りおよび対ごとの偏りのベクトルをモデル化し、SDP緩和と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの大統領型述語について、多項式時間アルゴリズムを用いて定数倍近似が可能か？
• RQ2 このような述語のラウンディング方式において、対ごとの偏りの使用は、非自明な近似を達成するために必要か？
• RQ3 有界次数 m の低次のラウンディング方式（固定次数 m）は、対ごとの偏りを用いずに成功できるか、それともその導入が本質的か？
• RQ4 「大統領」変数の相対的重み（δk）は、述語の近似可能性にどのように影響するか？
• RQ5 強い対称性や優位性を示す述語に対して、KTW多面体に構造的制限があり、特定のラウンディング方式が不可能になることがあるか？

主な発見

• 任意の δ₀ > 0 に対して、ある k₀ が存在し、すべての k ≥ k₀ および δ ∈ (δ₀, 1 − 2/k]（ただし δk + k − 1 が奇数）に対して、述語 P(x) = sign(δk x₁ + ∑_{i=2}^k x_i) は近似可能である。
• ラウンディング方式は、SDP解における個々の偏りと対ごとの偏りの両方を活用することで、ランダム割り当てよりも定数倍の利点を達成する。
• 構成により、対ごとの偏りが必須であることが示された：固定次数のラウンディング方式でそれらを用いない場合、大きな k に対して近似は達成できない。
• 大統領変数のフーリエ係数 ˆPP は、市民のフーリエ係数 ˆPC よりも指数的に大きい。この性質により、戦略的な確率配分によって高次モーメントをバランス可能となる。
• m = 5 の場合、5種類の点タイプを用いた混合戦略分布 µ を明示的に構成し、第5タイプには高次項をバランスさせるために指数的に小さい確率を割り当てた。
• 幾何的制約（特に bi ≥ −b₁（i ≥ 2））のため、独裁者述語 P(x) = sign((k−2)x₁ + ∑_{i=2}^k x_i) に対してこの方法は失敗する。