[論文レビュー] On the approximability of the stable marriage problem with one-sided ties

Bauckholt, Felix, Pashkovich, Kanstantsin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、片側に順位の同順位がある安定結婚問題に対するHuangとTelikepalliの近似アルゴリズムについて、洗練された分析を提示し、13/9-近似要因を達成することを証明している。これは、以前の最良の境界19/13を上回るものである。分析では、補助有向グラフにおける「ジャンプ」と「人気のある女性」といった新しい概念を導入し、課金スキームを強化した。また、比が正確に13/9に達する構築された例を通じて、タイトネスを示している。

ABSTRACT

The classical stable marriage problem asks for a matching between a set of men and a set of women with no blocking pairs, which are pairs formed by a man and a woman who would both prefer switching from their current status to be paired up together. When both men and women have strict preferences over the opposite group, all stable matchings have the same cardinality, and the famous Gale-Shapley algorithm can be used to find one. Differently, if we allow ties in the preference lists, finding a stable matching of maximum cardinality is an NP-hard problem, already when the ties are one-sided, that is, they appear only in the preferences of one group. For this reason, many researchers have focused on developing approximation algorithm for this problem. In this paper, we give a refined analysis of an approximation algorithm given by Huang and Telikepalli (IPCO14) for the stable marriage problem with one-sided ties, which shows an improved 13/9 -approximation factor for the problem. Interestingly, our analysis is tight.

研究の動機と目的

• 片側に順位の同順位がある安定結婚問題における近似要因を改善すること。ここでの前提は、片方の性別グループのみが同順位の好みを持つこと。
• HuangとTelikepalli（2014年）の組合せ的アルゴリズムのよりタイトな分析を提供すること。このアルゴリズムでは、男性は最大2回のプロポーズが可能で、女性は最大2件の受け入れが可能である。
• アルゴリズムの出力と最適マッチングとの対称差における5-増加パスをよりよく反映する新しい課金スキームを開発すること。
• 13/9-近似境界がタイトであることを示すために、比が正確に13/9に達する具体例を構築すること。

提案手法

• 提案されたマッチングMが5-増加パス上にある辺を収縮させつつ、提案グラフG′からの有向辺を用いて有向補助グラフHを構築する。
• 「ジャンプ」とは、Hにおける特定の構造的特徴であり、増加パスの追跡と近似比への寄与をより正確に可能にする。
• 最適マッチングにおいて、すべての好ましいパートナーに拒否されない女性を「人気のある女性」と定義し、分析における課金配分を改善する。
• 対称差M ⊕ OPTの各成分に対して過剰課金が生じないよう、5-増加パスを成分にマッピングする洗練された課金スキームを開発する。
• パス課金と非人気課金を用いて、各成分に属する女性の寄与を上限づけ、2ℓq + 5本の辺を持つ成分では、1成分あたりの課金合計が3ℓq以下であることを証明する。
• 洗練された課金合計を用いて、増加パスの数とその寄与を制限することで、全体の近似比を示し、|OPT| / |M| ≤ 13/9を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HuangとTelikepalliのアルゴリズムが片側に順位の同順位がある安定結婚問題に対して、以前に知られていた19/13の境界を超えて近似要因を改善できるか。
• RQ2 アルゴリズムの出力と最適マッチングとの対称差の構造的性質は、分析を洗練するためにどのように利用可能か。
• RQ3 13/9-近似境界はタイトか。具体的なインスタンスを構築することで、この比が達成されることを示せるか。
• RQ4 『ジャンプ』や『人気のある女性』といった新しい概念を導入することで、課金スキームをどのように改善し、パスの寄与の過剰評価を減らせるか。

主な発見

• HuangとTelikepalli（2014年）のアルゴリズムが、片側に順位の同順位がある安定結婚問題において、13/9-近似要因を達成することが証明された。これは、以前の最良境界19/13を上回るものである。
• 分析では、「ジャンプ」と「人気のある女性」という2つのキーコンセプトを導入し、対称差M ⊕ OPTにおける5-増加パスの課金スキームをよりタイトかつ正確にした。
• 13/9-近似境界がタイトであることが示され、構築されたインスタンスでは正確にこの比が達成されており、構造的変更なしでは同アルゴリズムによるさらなる改善は不可能である。
• 洗練された課金スキームにより、任意の(2ℓ+5)-増加パスに属する女性の課金合計が3ℓ以下であることが保証され、これは改善された近似比を証明するために不可欠である。
• 証明では、5-増加パスの数tが3ℓΣ以下であり、より長い増加パスの数kがℓΣ以下であることが示された。ここでℓΣは、M ⊕ OPTのすべての成分におけるℓqの和である。
• 最終的に、マッチングサイズと課金合計の上限を組み合わせることで、|OPT| / |M| ≤ 13/9が導出され、アルゴリズムの性能保証が確認された。