[論文レビュー] On the approximation of the probability density function of the randomized heat equation

Julia Calatayud, J.‐C. Cortés+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的拡散係数および確率的初期条件を伴う確率的熱方程式の解の確率密度関数（PDF）を近似する2つの新しい手法を提案する。変数分離法を用いて、解は確率的級数として表現され、PDFの近似は確率的変数変換（RVT）およびカーフェン・ロイクス展開（KLE）を用いて行われ、弱いリプシッツ条件の下で理論的収束が証明される。主な貢献は、近似PDFの一様コーシー列の構築であり、数値的にも高速な収束性と分布仮定へのロバストネスが確認された。

ABSTRACT

In this paper we study the randomized heat equation with homogeneous boundary conditions. The diffusion coeffcient is assumed to be a random variable and the initial condition is treated as a stochastic process. The solution of this randomized partial differential equation problem is a stochastic process, which is given by a random series obtained via the classical method of separation of variables. Any stochastic process is determined by its finite-dimensional joint distributions. In this paper, the goal is to obtain approximations to the probability density function of the solution (the first finite-dimensional distributions) under mild conditions. Since the solution is expressed as a random series, we perform approximations of its probability density function. We use two approaches: broadly speaking, first, dealing with the random Fourier coefficients of the random series, and second, taking advantage of the Karhunen-Loeve expansion of the initial condition stochastic process. Finally, several numerical examples illustrating the potentiality of our findings with regard to both approaches are presented.

研究の動機と目的

• 不確実パラメータを伴う確率的熱方程式の解の最初の有限次元確率密度関数に対する信頼性の高い近似を構築すること。
• 確率的偏微分方程式に確率的拡散係数および確率的初期条件を伴う場合に生じる確率的過程のPDFを計算する課題に取り組むこと。
• 近似PDFが一様に収束する理論的条件を確立すること、特にリプシッツ連続性を含む。
• 2つの異なる手法—一つは確率的フーリエ係数に基づくもの、もう一つは初期条件のカーフェン・ロイクス展開を活用するもの—の性能を比較すること。
• 異なるパrameter設定において、高速な収束性と分布へのロバストネスを示す数値実験を通じて理論的結果を検証すること。

提案手法

• 確率的熱方程式の解は変数分離法により導出され、確率的フーリエ係数を含む確率的級数として表現される。
• 確率的フーリエ係数に確率的変数変換（RVT）手法を適用し、変換の同時密度関数とリプシッツ連続性を仮定することで、解のPDFを導出する。
• カーフェン・ロイクス展開（KLE）を用いて初期条件の確率的過程を無相関確率変数の無限級数として表現し、これらの成分の変換を通じてPDFの近似を可能にする。
• 理論的収束は、密度関数のリプシッツ連続性を含む弱い仮定の下で、近似PDFが一様コーシー列を形成することを証明することで確立される。
• 収束速度と近似PDFの精度を評価するために、モンテカルロシミュレーションとL1ノルム比較を用いた数値実験が実施される。
• 2つの異なる近似戦略が実装された：一つは確率的級数の切り捨てと、その係数へのRVTの適用（定理2.8）、もう一つは初期条件のKLEによる表現と、それらの係数への変換適用（定理3.3）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的熱方程式の解の確率密度関数が一様に収束する条件は何か？
• RQ2 RVTに基づく手法とKLEに基づく手法は、収束速度および精度の観点でどのように比較できるか？
• RQ3 確率的パラメータの密度関数におけるリプシッツ条件が、PDF近似の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 提案手法は、非ガウス分布や有界分布を含む、広範な確率的分布の拡散係数および初期条件に対応できるか？
• RQ5 理論的収束枠組みにおいてリプシッツ条件の必要性を裏付ける数値的証拠は何か？

主な発見

• 近似PDFが、確率的パラメータの密度関数のリプシッツ連続性を含む弱い仮定の下で一様コーシー列を形成することを確認し、理論的収束が保証される。
• 数値実験では、RVTベースとKLEベースの両手法が非常に類似した結果を示し、連続する近似間のL1ノルムで高速な収束が観察された。
• 例題4.1では、(x,t) = (0.5,0.1) において、連続するPDF近似間のL1ノルム差が約0.00088にまで低下し、収束が速いことが示された。
• 例題4.2では、高次の近似においてL1ノルム差が10^-8未満に保たれ、手法の高い精度と安定性が確認された。
• 例題4.3では、リプシッツ条件が欠落している場合、L1ノルム差がそれぞれ0.19156および1.86146に達し、PDF近似が収束しないことが数値的に示された。これは、この条件の必要性を裏付けた。
• さまざまな近似において、解の期待値と分散はそれぞれ0と0.100146に近く、統計的モーメントの一貫性が示された。