[論文レビュー] On the approximation of the values of exponential function and logarithm by algebraic numbers

Yu. V. Nesterenko, Michel Waldschmidt|ArXiv.org|Feb 7, 2000

Mathematical Approximation and Integration参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス近似の技法を用いて、π、log 2、e、およびe^βといった複雑な数の代数的数による近似の有効な下界を確立する。主な結果は、代数的数α、βおよび体ℚ(α,β)の高さと次数に基づいて、|e^θ - α| + |θ - β|を制御する一般不等式であり、基本定数の明示的超越測度を導く。

ABSTRACT

A sharp explicit estimate is proved for the difference $e^β-α$ when $α$ and $β$ are nonzero algebraic numbers.

研究の動機と目的

• e^θとθがそれぞれ代数的数αおよびβによって同時近似可能であるような下界を有効に導出すること。
• π、log 2、e、およびe^β（β ≠ 0 は代数的）といった基本定数の明示的超越測度を確立すること。
• 近似の質が近似数の次数と高さにどのように依存するかを、指数関数的および対数的値の代数的数による近似の観点から定量化すること。
• 対数的ウェイル高さと体の次数に基づいて、計算可能な明示的境界を提供する形で、古典的結果を拡張すること。

提案手法

• 絶対対数的ウェイル高さh(α)、h(β)および体の次数D = [ℚ(α,β) : ℚ] を用いて、|e^θ - α| + |θ - β| の一般下界を導出する。
• 線形対数形式の理論と多項式補間を応用し、その対数的サイズが上界と下界の両方で制限される非ゼロ代数的整数𝒟を構成する。
• αおよびβの最小多項式の長さL(P)の上界を用い、組合せ的および解析的推定を用いて行列式𝒟の大きさを推定する。
• |𝒟| の上界と下界を比較することで矛盾を導出し、近似が小さすぎるという仮定のもとで主不等式を導出する。
• 補助多項式q_{τt}^{σs}(X,Y)と結果式R(X,Y)を用いて、行列式𝒟 = R(β, α)を構成し、良好な近似の仮定のもとで消えないことを保証する。
• 主不等式をLemma 1を用いて変換し、代数的数による近似と整数多項式Pに対する|P(θ)|の下界を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さと次数の制限のもとで、非ゼロθおよび代数的数α、βに対して、|e^θ - α| + |θ - β| はどのくらい小さくなることができるか？
• RQ2 実代数的数ξ（次数d、長さL）に対して、|π - ξ|、|log 2 - ξ|、|e - ξ| の明示的下界はどのように得られるか？
• RQ3 e^θとθの代数的数による近似を用いて、π、log 2、e、およびe^βの有効な超越測度を導出可能か？
• RQ4 ウェイル高さh(α)、次数D、体拡大ℚ(α,β)は、指数関数的および対数的値の近似の質にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の非ゼロθに対して、|e^θ - α| + |θ - β| は、D、log A、log B、log D、log E、|θ| に関する二重指数関数的関数で下から抑えられ、明示的定数を伴う。
• πに対しては、次数d、長さL ≥ 3 の代数的数ξに対して、|π - ξ| ≥ exp(−1.2 × 10^6 × d × (log L + d log d) × (1 + log d)) が成り立つ。
• log 2に対しては、|log 2 - ξ| ≥ exp(−151000 × d^2 × (log L + d log d) × (1 + log d)^{-1}) であり、πの場合よりもd^2に強く依存することが示される。
• eに対しては、|e - ξ| ≥ exp(−76000 × d^2 × (log L + d)) であり、log 2と同様にd^2の依存性を示す。
• 代数的数β ≠ 0 に対してe^βに対しては、|e^β - α| ≥ exp(−105500 × D^2 log A × (h(β) + log_+ log A + log D + log E) × (D log D + log E) × (log E)^{-2}) が成立する。
• 代数的数α ≠ 1 に対してlog αに対しては、|β - log α| ≥ exp(−105500 × D^2 log A × (h(β) + log_+ log A + log D + log E) × (D log D + log E) × (log E)^{-2}) が確立され、指数関数的および対数的値のためのフレームワークが完成する。