[論文レビュー] On the Araki-Lieb-Thirring inequality

Koenraad M. R. Audenaert|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2007

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、正の行列に対してアラキ＝ライブ＝チリング（ALT）不等式の補完的下界を確立し、$\tr[(ABA)^{rq}]$ に対して $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ と $A$、$B$ の作用素ノルムを用いた新たな上界を提示する。この上界は $0 \leq r \leq 1$、$q \geq 0$ に対して有効である。さらに、ユニタリに不変なノルムとシャッテン $p$-ノルムを用いて、ALT 不等式を一般行列へと一般化し、正定値作用素に限らない応用可能性を拡張する。

ABSTRACT

We prove an inequality that complements the famous Araki-Lieb-Thirring (ALT) inequality for positive matrices $A$ and $B$, by giving a lower bound on the quantity $ race[A^r B^r A^r]^q$ in terms of $ race[ABA]^{rq}$ for $0\le r\le 1$ and $q\ge0$, whereas the ALT inequality gives an upper bound. The bound contains certain norms of $A$ and $B$ as additional ingredients and is therefore of a different nature than the Kantorovich type inequality obtained by Bourin ( extit{Math. Inequal. Appl.} extbf{8}(2005) pp. 373--378) and others. Secondly, we also prove a generalisation of the ALT inequality to general matrices.

研究の動機と目的

• 正の行列に対するアラキ＝ライブ＝チリング（ALT）不等式の補完的不等式を導出し、$\tr[(ABA)^{rq}]$ に対して $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ と $A$、$B$ のノルムを用いた上界を提供すること。
• 正定値行列に限らない一般行列およびエルミート作用素へとALT不等式を拡張すること。
• 『水』不等式（弱い）と『ワイン』不等式（強い）の間を補間する上界の族を提供し、$t = 1 - r$ で最も鋭い境界が得られることを示すこと。
• ユニタリに不変なノルムとシャッテン $p$-ノルムを用いて、任意の行列に対するALT不等式の一般化を確立すること。
• 元の不等式の非対称性を解消するために、ノルム依存の補正項を導入し、すべての正の行列に対して普遍的に適用可能な境界を構築すること。

提案手法

• 作用素ノルムを用いて弱い上界（『水』不等式）を導出する：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]$（$q \geq 0$、$r \geq 0$）。$0 \leq p \leq 1$ の範囲で $x \mapsto x^p$ が作用素単調であることを利用。
• パラメータ $t \in [1 - r, 1]$ を用いて『水』不等式と『ワイン』（ALT）不等式の間を補間する、改良された上界の族を構築し、$t = 1 - r$ で最も鋭い境界が得られることを示す。
• 補完的で鋭い不等式を証明する：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \left(\|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]\right)^{1-r} \left(\tr[(A^r B^r A^r)^q]\right)^r$（$0 \leq r \leq 1$、$q \geq 0$）。補間法とノルムの性質を用いる。
• 一般行列への拡張のために、$A = U|A|$ と極分解を適用し、問題を $|A|$ の正のケースに還元する。
• エルミート行列 $B$ に対して $B = B^+ - B^-$ とジョルダン分解を適用し、ユニタリに不変なノルムの不等式を用いて $||| |ABA^*|^q |||$ を $||| |A|^q |B|^q |A|^q |||$ の形で上界で抑え込む。
• 行列をブロック行列に埋め込み、$p$-ノルムの三角不等式と $|X|$ と $|X^*|$ の対称性を用いて、任意の行列へと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の行列に対して、$\tr[(ABA)^{rq}]$ に対して $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ と $A$、$B$ のノルムを用いた非自明な上界を、アラキ＝ライブ＝チリング不等式の補完として得ることは可能か？
• RQ2 『水』不等式と元のALT不等式の間の最適な補間は何か？ これにより、鋭く普遍的に有効な上界が得られるか？
• RQ3 アラキ＝ライブ＝チリング不等式は、正定値行列に限らない一般行列およびエルミート作用素へとどのように拡張できるか？
• RQ4 ユニタリに不変なノルムとシャッテン $p$-ノルムは、非正定値作用素へと不等式を一般化する際に果たす役割は何か？
• RQ5 $B$ が正定値でない場合、ブロック行列の埋め込みとノルムの対称性を用いて不等式を拡張することは可能か？

主な発見

• 本稿は鋭い補完的不等式を確立する：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \left(\|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]\right)^{1-r} \left(\tr[(A^r B^r A^r)^q]\right)^r$（$0 \leq r \leq 1$、$q \geq 0$）。この不等式は $A$ と $B$ がスカラー行列のとき等号で成立し、飽和されることを示す。
• 『水』不等式 $\tr[(ABA)^{rq}] \leq \|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]$ は弱い上界であるが、より鋭い補間上界を構築する基盤として機能する。
• 一般行列 $A$ と $B \geq 0$ に対して、任意のユニタリに不変なノルムと $q \geq 1$ に対して $|||(ABA^*)^q||| \leq ||| |A|^q B^q |A|^q |||$ が成り立つ。これはALT不等式の拡張である。
• エルミート行列 $B$ に対して、ジョルダン分解とノルムの劣加法性を用いて $||| |ABA^*|^q ||| \leq ||| |A|^q |B|^q |A|^q |||$ を証明する。
• 任意の行列 $A$ と $B$ に対して、ブロック行列の埋め込みとノルムの性質を用いて、一般化された不等式 $||| |ABA^*|^q ||_p \leq ||| |A|^q \frac{|B|^q + |B^*|^q}{2} |A|^q ||_p$（$p, q \geq 1$）が成り立つ。
• 導出された上界は鋭いことが示され、スカラー行列のとき等号が成立するため、補間手法のタイトさが裏付けられる。