[論文レビュー] On the area of the symmetry orbits of cosmological spacetimes with toroidal or hyperbolic symmetry

Jacques Smulevici|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トーラス的または双曲的対称性を持つ宇宙論的時空に対して、一般初期データのもとで、大域的解の存在および未来因果的測地線完全性を確立し、正の宇宙定数が存在する場合、収縮方向における対称性軌道の面積がゼロに漸近することを証明している。面積foliationとエネルギー推定を用いて、最大Cauchy発展が拡張不能であり、良好な漸近的挙動を示すことを示し、これらの対称的モデルにおける強い宇宙 censorship を支持する。

ABSTRACT

We prove several global existence theorems for spacetimes with toroidal or hyperbolic symmetry with respect to a geometrically defined time. More specifically, we prove that generically, the maximal Cauchy development of $T^2$-symmetric initial data with positive cosmological constant $Λ>0$, in the vacuum or with Vlasov matter, may be covered by a global areal foliation with the area of the symmetry orbits tending to zero in the contracting direction. We then prove the same result for surface symmetric spacetimes in the hyperbolic case with Vlasov matter and $Λ\ge 0$. In all cases, there is no restriction on the size of initial data.

研究の動機と目的

• 一般初期データのもとで$T^2$-対称および$k\leq 0$の表面対称時空の大域的解の定理を確立すること。
• 正の宇宙定数のもとで、収縮方向における対称性軌道の面積がゼロに漸近することを証明すること。
• これらの時空における未来因果的測地線完全性を示し、強い宇宙 censorship を支持すること。
• 対称的宇宙論的モデルにおける特異点の漸近的構造を分析すること。
• Hawking質量の正値性および反トラッピング性に関する結果を、真空中および非偏光状態の設定へと拡張すること。

提案手法

• 対称性軌道の面積に基づく幾何的時間座標を用いて、大域的面積foliationを構築する。
• 計量および物質場の微分を制御するため、エネルギー推定と光錐推定を適用する。
• 衝突しない物質をモデル化するため、Einstein-Vlasov系を用いる。
• 計量関数および計量における偏光項の連続的拡張技術を実装する。
• 曲率特異点を制御するため、関数$\alpha$の特異的曲線および爆発推定を用いる。
• 商時空$\tilde{\mathcal{Q}}$の普遍被覆を分析して、過去境界の構造を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Lambda > 0$ で$T^2$-対称初期データの最大Cauchy発展が、収縮する軌道を持つ大域的面積foliationを有するか。
• RQ2 $\Lambda \geq 0$ でVlasov物質を有する$k = -1$表面対称時空において、未来因果的測地線完全性が確立可能か。
• RQ3 $T^2$-対称時空における普遍被覆$\tilde{\mathcal{Q}}$の過去境界の漸近的構造は何か。
• RQ4 エネルギー推定および偏光制御が、時空の正則性および拡張不能性をどのように保証するか。
• RQ5 宇宙定数$\Lambda = 0$ で偏光$T^2$-対称時空において、強い宇宙 censorship は成立するか。

主な発見

• $\Lambda > 0$ でVlasov物質を有する$T^2$-対称時空において、最大Cauchy発展は、収縮方向における対称性軌道の面積がゼロに漸近する大域的面積foliationを有する。
• 双曲的ケースで$\Lambda \geq 0$ でVlasov物質を有する場合、初期データの大きさに制限なしに、同様の大域的面積foliationおよび面積減少の結果が成立する。
• エネルギー推定および計量関数の連続的拡張により、未来因果的測地線完全性が示された。
• 偏光エネルギー$E_A$は光錐推定により制御され、重要な計量成分の有界性が保証される。
• $\tilde{\mathcal{Q}}$の過去境界は、対称性および初期データに応じて空間的または光的であることが示され、一般ケースは既知の極端な場合の間にある。
• これらの結果は、これらの対称的モデルにおける強い宇宙 censorship の有効性を確認しており、小データ仮定は不要である。