[論文レビュー] On the arithmetization of syntax

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の解釈においてアラビア数字に割り当てられる対象にのみ範囲を制限するように個体変数をパラメータ化する修正された第一階算術系 S′ を導入する。ゲーデルの技法を応用して、(∀x)ℛ(x) というゲーデル文を構成し、S′ が非矛盾であることを証明する。この結果、標準的第1階算術 S も非矛盾であることが示され、算術の形式主義的基礎に関する仮定に挑戦する。

ABSTRACT

It is generally accepted that Godel's proof implies the incompleteness of first-order number theory. This paper shows that the standard demonstration of this result implies that the class of theorems of such systems is not well defined. Proof of the converse of one of the Hilbert-Bernays Derivability Conditions for Godel's second incompleteness theorem essentially yields this result: the theoremhood of a formula is implied if it may be proven in the system that there exists a Godel number of a proof of the formula.

研究の動機と目的

• 第一階算術を変更し、変数にパラメータ化を導入することで論理的非矛盾が生じるかどうかを調査すること。
• このような修正が、標準的第1階算術（S）の非矛盾性に与える影響を評価すること。
• メタ理論における潜在的なパラドックスを露呈させることで、形式主義的算術の基礎の頑健性を検証すること。
• もし体系が非矛盾でないならば、標準的解釈がモデルとして機能できないことを示すこと。
• 形式主義的手法が算術の基礎的体系におけるパラドックスを回避するのに十分であるかどうかを挑戦すること。

提案手法

• メンドレルの第一階数理論 S を変更し、関数 s′* を再定義することで、個体変数がアラビア数字に割り当てられる対象にのみ範囲を制限するようにパラメータ化する。
• S のすべての論理公理、推論規則、適切な公理を保持し、S′ が再帰的に公理化可能であり、ペアノ算術を含むことを保証する。
• 自己言及的代入と証明述語に依存する、ゲーデルの算術化技法の修正版を用いて、ゲーデル文 (∀x)ℛ(x) を構成する。
• S′ の完全性を用いて、(∀x)ℛ(x) が定理でないならば、その真理が偽であるモデルが存在することを示し、これにより矛盾を導く。
• すべてのアラビア数字 ġn に対して、S′ は ℛ(ġn) を証明できることに着目し、パラメータ化のため、これはすべてのモデルで (∀x)ℛ(x) が真であることを意味する。
• 矛盾を導出する：S′ が非矛盾であるならば、(∀x)ℛ(x) はすべてのモデルで真であり、したがって定理であるが、これはその文が証明不能であるという仮定に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階算術におけるパラメータ化された変数系が、標準的公理と規則を保ったまま非矛盾を引き起こす可能性はあるか？
• RQ2 S′ に存在する、証明不能であるが必然的に真であるゲーデル文が、体系の非矛盾性を示唆するか？
• RQ3 S′ がパラメータ化によって非矛盾である場合、第一階算術の標準的解釈は無効であるか？
• RQ4 最小限の修正によって矛盾を引き起こすならば、形式主義的算術のメタ理論はパラドックスから自由であると言えるか？
• RQ5 S′ の非矛盾性は、古典的数学の形式主義的説明の適切性にどのような含意を持つのか？

主な発見

• S′ は非矛盾である。なぜなら、変数のパラメータ化のおかげで、すべてのモデルにおいて (∀x)ℛ(x) が定理でなければならないからである。これはすべての ℛ(ġn) が真であることを意味する。
• この構成は矛盾を引き起こす：S′ が非矛盾であるならば、(∀x)ℛ(x) はすべてのモデルで真であり、したがって定理であるが、これはその文が証明不能であるという仮定に反する。
• S′ の構文は標準的第1階算術 S と同一であるため、S′ の非矛盾性は S の非矛盾性を示唆する。
• 標準的解釈は S′ のモデルにはなりえない。なぜなら、それでは (∀x)ℛ(x) が真かつ証明不能である必要があるが、体系のパラメータ化の下ではこれは不可能である。
• この結果は、形式主義的算術のメタ理論がパラドックスから自由ではないことを示唆し、形式主義が基礎的体系における矛盾を回避できるという主張を揺るがす。
• 本稿は、形式主義的算術の基礎が、メタ理論における隠れたパラドックスのおかげで、古典的数学の整合的かつ適切な説明を提供できないと結論づける。