[論文レビュー] On the asphericity of a symplectic M3 x S1

John D. McCarthy|ArXiv.org|Jul 16, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$M \times S^1$ がシンプレクティック形式をもつような3次元多様体 $M$ の位相的構造を調査する。プライム分解と被覆空間論を用いて、$M$ は一意的に $A \# B$ に分解され、$A$ は $S^2 \times S^1$ または非可縮で非可縮の3次元多様体であり、$B$ は有限シート被覆を持たないことが示される。これは、ターファンの幾何化予想のもとで $B$ がホモトピー球面であることを意味する。結果として、シンプレクティックな $M \times S^1$ は、$M$ がホモトピー球面の和成分を除いてほとんど可縮であることを示している。

ABSTRACT

An interesting question in symplectic topology, which was posed by C. H. Taubes, concerns the topology of closed (i.e. compact and without boundary) connected oriented three dimensional manifolds whose product with a circle admits a symplectic structure. The only known examples of such manifolds are those which fiber over a circle. Taubes asked whether these examples are the only examples of such manifolds. An affirmative answer to Taubes' question would have the following consequence: any such manifold either is diffeomorphic to the product of a two-sphere with a circle or is irreducible and aspherical. In this paper, we prove that this implication holds up to connect sum with a manifold which admits no proper covering spaces with finite index. It is pointed out that Thurston's geometrization conjecture and known results in the theory of three dimensional manifolds imply that such a manifold is a three-dimensional sphere. Hence, modulo the present conjectural picture of three-dimensional manifolds, we have shown that the stated consequence of an affirmative answer to Taubes' question holds.

研究の動機と目的

• 閉じた、向き付け可能な3次元多様体 $M$ が $M \times S^1$ にシンプレクティック構造をもつための位相的制約を特定すること。
• タウブスが予想したように、このような多様体が円周の上にファイブレーションするかどうかを調査すること。
• $M \times S^1$ がシンプレクティックであるという条件下での $M$ の可縮性を、特にプライム分解と被覆空間論の観点から分析すること。
• $M$ が特定の位相的およびホモトピー的性質をもつ成分に一意的な連結和分解として分解されることを確立すること。

提案手法

• 3次元多様体のプライム分解定理を用いて、$M = M_1 \# \cdots \# M_r$ とプライム成分に分解する。
• 被覆空間論を適用して、有限シート被覆を持たない成分 $B$ がホモロジー球面であることを示す。
• ミルナーの非可縮性および可縮性に関する定理を適用する：プライム3次元多様体で $b_1 \geq 1$ である場合、$S^2 \times S^1$ または非可縮かつ非可縮である。
• 多様体 $X = M \times S^1$ 上のシンプレクティック形式 $\omega$ の非退化性を用いて、$b_2^+(X) \geq 1$ を示し、これにより $b_1(M) \geq 1$ が導かれる。これにより、少なくとも1つの成分が正の1次ベッチ数を持つことが保証される。
• プライム分解の一意性（順序および微分同相型を除く）を用いて、指定された性質をもつ $M = A \# B$ の分解の一意性を証明する。
• ターファンの幾何化予想と既知の残余有限性に関する結果に依拠し、$B$ がホモトピー球面、したがって3次元球面であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた、向き付け可能な3次元多様体 $M$ が $M \times S^1$ にシンプレクティック構造をもつ場合、常に円周の上にファイブレーションするか？
• RQ2 $M \times S^1$ にシンプレクティック構造が存在する場合、$M$ にどのような位相的制約が課されるか？
• RQ3 $M$ は、可縮または $S^2 \times S^1$ 要素と、有限シート被覆を持たない成分への和に分解可能か？
• RQ4 $M \times S^1$ がシンプレクティックであるとき、$M$ はどの程度まで可縮であるか？
• RQ5 幾何化予想のもとで、$M$ の非可縮成分は必然的に3次元球面か？

主な発見

• $M$ は一意的な連結和分解 $M = A \# B$ を持ち、$b_1(A) \geq 1$、$A$ は $S^2 \times S^1$ または非可縮かつ非可縮であり、$B$ は非自明な有限シート被覆を持たない。
• $B$ はホモロジー球面であり、幾何化予想のもとでホモトピー球面（つまり $S^3$ と微分同相）である。
• $M \times S^1$ にシンプレクティック構造が存在することは、$b_1(M) \geq 1$ を意味するため、$M$ は非自明でありホモトピー球面ではない。
• $A$ は、$M$ のプライム成分の中で唯一の正の1次ベッチ数を持つものとして一意に定まる。
• この分解により、$M$ はほとんど可縮であることが保証される：高次のホモトピー群は $B$ 成分を除いてすべて消える。
• 幾何化予想のもとで $B$ は3次元球面であるため、$M$ は $S^2 \times S^1$ または非可縮かつ非可縮であり、タウブスの予想の帰結がこの予想のもとで確認される。