[論文レビュー] On the Assouad dimension and convergence of metric spaces

Yoshito Ishiki|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、距離空間における接空間および漸近的コンイの一般化として擬似コンイを導入し、任意の距離空間のアッサウド次元がその擬似コンイのアッサウド次元によって下から抑えられることを証明する。また、アッサウド次元がグロモフ＝ハウスドルフ極限および超極限において安定していることを示し、すべてのコンパクト距離空間が擬似コンイとして含むことのできる $(\omega_0+1)$-距離空間を構成する。さらに、トポロジカル次元、ハウスドルフ次元、およびコンフォーマルハウスドルフ次元に対しては、類似の次元の下界が成り立たないことを示す。

ABSTRACT

We introduce the notion of pseudo-cones of metric spaces as a generalization of both of the tangent cones and the asymptotic cones. We prove that the Assouad dimension of a metric space is bounded from below by that of any pseudo-cone of it. We exhibit a example containing all compact metric spaces as pseudo-cones, and examples containing all proper length spaces as tangent cones or asymptotic cones.

研究の動機と目的

• 距離空間の次元を研究するため、接空間および漸近的コンイの概念を擬似コンイによって一般化すること。
• 距離空間の擬似コンイを用いて、そのアッサウド次元の下界を確立すること。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束および超極限構成において、アッサウド次元が保存されることを示すこと。
• すべてのコンパクト距離空間が擬似コンイとして現れるような単一の距離空間を構成すること。
• また、すべての適切な長さ空間が接空間または漸近的コンイとして現れるような別の距離空間を構成すること。
• アッサウド次元の下界に関する類似の不等式が、トポロジカル次元、ハウスドルフ次元、およびコンフォーマルハウスドルフ次元に対して成り立たないことを示すこと。

提案手法

• 距離空間 $ X $ のスケーリングされた部分集合 $ u_i A_i $（$ u_i \in (0,\infty) $）のグロモフ＝ハウスドルフ極限として擬似コンイを定義する。
• アッサウド次元のスケーリング不変性を用いる：$ \dim_A(hX) = \dim_A(X) $（$ h > 0 $）。
• マッケイとタイソン（2010）の接空間に関する手法を応用し、アッサウド次元の下界を擬似コンイへ拡張する。
• 制御された距離とスケーリング係数 $ a_i $ を持つネストされた集合 $ G_i $ を用いて、距離空間 $ X $ を構成し、望ましい収束性を保証する。
• 非主超フィルターを用いた超極限を用いて、スケーリングされた部分集合の極限挙動を分析し、超極限の擬似コンイにおける次元の下界を証明する。
• 組合せ的および幾何的推定（例：$ \alpha(G_i)/\alpha(G_{i-1}) < 16 $）を用いて、距離と収束速度を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接空間および漸近的コンイの概念を、距離空間におけるより広いクラスの極限対象へ一般化することは可能か？
• RQ2 距離空間のアッサウド次元は、その擬似コンイのアッサウド次元によって下から抑えられるか？
• RQ3 すべてのコンパクト距離空間が擬似コンイとして現れるような単一の距離空間を構成できるか？
• RQ4 接空間または漸近的コンイに基づく次元の下界が、コンフォーマルアッサウド次元に対しても成り立つか？
• RQ5 トポロジカル次元、ハウスドルフ次元、またはコンフォーマルハウスドルフ次元に対しても、アッサウド次元の下界に関する類似の不等式は成立するか？

主な発見

• 任意の距離空間 $ X $ に対して、任意の擬似コンイ $ P \in \mathrm{PC}(X) $ について $ \dim_A P \leq \dim_A X $ が成り立つ。
• 任意の超極限 $ \lim_{\mathcal{U}}(u_i A_i, a_i) $ のアッサウド次元は、$ \dim_A X $ によって上から抑えられる。
• $ \mathrm{PC}(X) $ にすべてのコンパクト距離空間が擬似コンイとして含まれるような $ (\omega_0+1) $-距離空間 $ X $ が存在する。
• $ \mathrm{PC}(X) $ にすべての適切な長さ空間が接空間または漸近的コンイとして含まれるような $ (\omega_0+1) $-距離空間 $ X $ が存在する。
• すべての $ P \in \mathrm{KPC}(X) $（コンパクト擬似コンイの集合）に対して、コンフォーマルアッサウド次元は $ \mathrm{Cdim}_A P \leq \mathrm{Cdim}_A X $ を満たす。
• トポロジカル次元、ハウスドルフ次元、およびコンフォーマルハウスドルフ次元は、類似の下界を満たさない：$ \dim_T X < \dim_T P $、$ \dim_H X < \dim_H P $、および $ \mathrm{Cdim}_H X < \mathrm{Cdim}_H P $ を満たすような $ X $ と $ P \in \mathrm{PC}(X) $ が存在する。