[論文レビュー] On the Asymptotic Behavior of a Multiplicative Arithmetic Function Related to the Divisor Function Over Perfect Squares Integers Generated by Shifting

Bouderbala Mihoub|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

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ひとこと要約

論文は、n+s(n)が完全平方になる最小のシフトs(n)を用いた乗法的関数 D(n+s(n)) の和を x までの鋭い漸近公式として導出する。D(n)=tau(n)/2^{omega(n)}。

ABSTRACT

Let $x$ be a real number satisfying $x \geq 2$. For any positive integer $n$, we define $s(n)$ as the smallest non-negative integer such that $n + s(n)$ is a perfect square. In this paper, we derive an asymptotic formula for the sum \begin{equation*} \sum_{n \leq x} D(n + s(n)), \end{equation*} where \begin{equation*} D(n) = \frac{τ(n)}{2^{ω(n)}}. \end{equation*} Here, $τ(n)$ denotes the number of positive divisors of $n$, and $ω(n)$ stands for the number of distinct prime factors of $n$.

研究の動機と目的

• 新しい乗法的関数 D(n)=tau(n)/2^{omega(n)} の性質と検討の動機付け。
• 平方完成のシフト s(n) の定義と、それが n+s(n) に対する D の評価における役割。
• |sum_{n≤x} D(n+s(n))| の鋭い漸近公式を、主項の定数を明示して導出。
• D(n^2) に関する補助結果を構築し、Euler積を持つ Dirichlet級数との関係を確立。

提案手法

• D(n) を乗法的に定義し、素冪値 D(p^m)=(m+1)/2 を計算。
• Dirichlet級数 f(s)=sum D(n^2)/n^s を研究し、f(s)=zeta^2(s) * P(s)、P(s)=prod_p(1-1/(2p^s)+1/(2p^{2s})) を得る。
• Perron の公式を適用して和を f(s) に関連づけ、Contour をシフトして s=1 の二重極から主項を取り出す。
• s=1 の留数を計算して C1 := P(1) および C2 := P'(1) を得る。
• 部分和分布と S(t)=sum_{m≤t} D(m^2) の既知の漸近を用いて、sum_{n≤x} D(n+s(n)) の最終公式を導く。
• 误差項 O(x^{3/4+ε}) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 x→∞ に対する sum_{n≤x} D(n+s(n)) の漸近挙動はどうなるか？
• RQ2 D(n^2) を Dirichlet級数と Euler 積で表現して主項を抽出する方法は？
• RQ3 和の主項を支配する有限の定数は何で、どう導出されるのか？
• RQ4 平方完成であるシフト s(n) が、分配型の乗法関数の和集合挙動とどのように相互作用するか？

主な発見

• 漸近公式が確立される：sum_{n≤x} D(n+s(n)) = (C1/2) x log x + ((2γ − 1/2) C1 + C2) x + O(x^{3/4+ε})。
• 定数は C1 := ∏_p (1 − 1/(2p) + 1/(2p^2)) および C2 := P'(1) であり、P(s) := ∏_p (1 − 1/(2p^s) + 1/(2p^{2s}))。
• 補助結果として sum_{n≤x} D(n^2) = C1 x log x + ((2γ − 1) C1 + C2) x + O(x^{1/2+ε}) を得る。
• D(n^2) の Dirichlet級数は f(s) = zeta^2(s) P(s) であり、明示的な Euler 積を持ち、留数計算を可能にする。
• 証明は Perron の公式、Contour のシフト、部分和を組み合わせて、シフトされた平方インデックスと基本 Dirichlet 系列解析を結びつける。
• 誤差項は任意の ε>0 に対して x^{3/4+ε} まで鋭い。