[論文レビュー] On the asymptotic behaviour of the fractional Sobolev seminorms in metric measure spaces: Bourgain-Brezis-Mironescu's theorem revisited

Bang-Xian Han, Andrea Pinamonti|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分数階ソボレフ半ノルムのボルガイン＝ブレジス＝ミロンエスクの漸近的公式を、ほとんど至る点で有限次元バナッハ空間またはカルノー群である接空間を持つ測度付き距離空間へ一般化する。この条件下で、非局所的半ノルムが古典的ソボレフ半ノルムに収束することを確立する。主な貢献は、ユークリッド空間、重み付きリーマン多様体、非リーマン多様体、および非崩壊的 RCD(K,N) 空間を統一的に扱う証明フレームワークを提供することであり、極限定数 K_{p,N} を明示的に特定している。

ABSTRACT

We generalize Bourgain-Brezis-Mironescu's asymptotic formula for fractional Sobolev functions, in the setting of abstract metric measure spaces, under the assumption that at almost every point the tangent space in the measured Gromov-Hausdorff sense is a finite dimensional Banach space or a Carnot group. Our result not only covers the known results concerning Euclidean spaces, weighted Riemannian manifolds and finite dimensional Banach spaces, but also extends Bourgain-Brezis-Mironescu's formula to $ cdkn$ spaces and sub-Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間を超えて、一般の測度付き距離空間へ、分数階ソボレフ半ノルムのボルガイン＝ブレジス＝ミロンエスクの漸近的公式を拡張すること。
• 接構造に最小限の幾何的仮定を課したもとで、非局所的半ノルムが古典的ソボレフ半ノルムに収束することを確立すること。
• ユークリッド空間、有限次元バナッハ空間、重み付きリーマン多様体、非リーマン多様体に関する先行研究を、一つの解析的枠組みで統一的かつ一般化すること。
• 多様なモリフィアのクラスに対して公式を証明し、非局所的関数型によるソボレフ関数の新たな特徴づけを可能にすること。
• リーマン多様体のリッチ曲率が下から有界であるという合成的条件を満たす非崩壊的 RCD(K,N) 測度付き距離空間へ、BBM 公式の有効性を拡張すること。

提案手法

• 測度付き Gromov-Hausdorff 収束を用いて、接錐レベルでの分数階半ノルムの漸近的挙動を分析する。
• 滑らかでないバージョンのラデマッハの定理を適用し、測度付き距離空間上のリプシッツ関数がほとんど everywhere で弱微分可能であることを保証する。
• 距離 d(x,y) のみに依存するモリフィア族 ρ_n(x,y) を用い、次元および指数 p に関連する多項式的増加の順序を持つ。
• 正則点近傍の局所幾何を近似するための双リプシッツチャート (φ_δ^i) の列を構成し、接錐が R^N またはカルノー群に等長であることを保証する。
• 接空間が一意的で、かつすべてのスケールで近似が成り立つ正則点の集合 R_∞ を密度に基づいて選択する。
• 測度論的議論を用いて、チャート近似が失敗する例外的集合（例：𝒩_k）の測度を制御し、その密度が小さなスケールで消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間の幾何的条件下で、分数階ソボレフ半ノルムが s↑1 のとき古典的ソボレフ半ノルムに収束する条件は何か？
• RQ2 古典的ボルガイン＝ブレジス＝ミロンエスクの公式は、非リーマン多様体およびリッチ曲率下限付き RCD(K,N) 空間に拡張可能か？
• RQ3 有限次元接錐を持つ非ユークリッド測度付き距離空間において、漸近的公式の正確な極限定数 K_{p,N} は何か？
• RQ4 多項式的増加および径数依存性を満たす任意のモリフィアに対して、BBM 公式をどのように一般化できるか？
• RQ5 非局所的半ノルムが古典的ソボレフ半ノルムに収束することは、底面の空間の測度付き Gromov-Hausdorff 収束に対して安定的か？

主な発見

• 漸近的公式は、ほとんど至る点で有限次元バナッハ空間またはカルノー群である接錐を持つすべての測度付き距離空間で成り立つ。
• 漸近的公式における極限定数 K_{p,N} は明示的に特定され、空間の幾何に依存せず、既知のユークリッド空間での値と一致する。
• 非崩壊的 RCD(K,N) 空間に対しても本結果が適用可能であり、測度が N 次元ハウスドルフ測度であるため、リッチ曲率下限付きの合成的空間へ公式を拡張する。
• 仮定 3.4 を満たす広範なモリフィア族に対して収束が成立し、ソボレフ関数の熱半群による特徴づけに用いられる関数を含む。
• 証明により、局所的チャート近似が失敗する例外的集合の密度が、小さなスケールで消えることが示され、測度論的収束が保証される。
• 本フレームワークにより、ユークリッド空間、バナッハ空間、重み付きリーマン多様体、非リーマン多様体に関する先行研究が、一つの解析的原理の下で統一的かつ一般化された。