[論文レビュー] On the asymptotic distribution of singular values of products of large rectangular random matrices

Nikita Alexeev, А. Н. Тихомиров+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般の条件下で、大きな長方形ランダム行列の積の特異値の漸近的分布を確立する。Stieltjes変換解析とLindeberg条件を用いて、二乗特異値の期待された経験的分布が、代数的方程式で特徴づけられる極限分布に弱収束することを証明し、正方行列の場合にはFuss-Catalanモーメントに帰着する。

ABSTRACT

We consider products of independent large random rectangular matrices with independent entries. The limit distribution of the expected empirical distribution of singular values of such products is computed. The distribution function is described by its Stieltjes transform, which satisfies some algebraic equation. In the particular case of square matrices we get a well-known distribution which moments are Fuss-Catalan numbers.

研究の動機と目的

• 独立な大きな長方形ランダム行列（i.i.d. 要素）の積の特異値の極限スペクトル分布を導出すること。
• i.i.d. でない場合を含めた長方形行列の積へのMarchenko-Pastur法則の一般化。
• 期待された経験的分布関数の弱収束を、Stieltjes変換方程式で特徴づけられる極限分布へと確立すること。
• 自由確率論およびモーメント法の結果を、非正方および非ガウス型の行列積へと拡張すること。
• 多層型ランダム行列モデルにおける特異値の漸近的挙動の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 各 $\mathbf{X}^{\nu}$ が i.i.d. 要素を持ち、$1/\sqrt{p_\nu}$ でスケーリングされた長方形ランダム行列であるとき、積行列 $\mathbf{W} = \prod_{\nu=1}^m \mathbf{X}^{(\nu)} $ を定義する。
• 二乗特異値の期待された経験的分布 $F_n(x)$ のStieltjes変換 $s_n(z)$ を分析する。
• $s_n(z)$ が、各行列のアスペクト比 $y_l = \lim n/p_l$ に依存する項の積を含む近似方程式を満たすことを確立する。
• $s_n(z)$ が、代数的方程式 $1 + z s_{\mathbf{y}}(z) - s_{\mathbf{y}}(z) \prod_{l=1}^m (1 - y_l - z y_l s_{\mathbf{y}}(z)) = 0$ を満たす極限分布 $G_{\mathbf{y}}(x)$ のStieltjes変換 $s_{\mathbf{y}}(z)$ に収束することを証明する。
• 対称化、截断、モーメントバウンドを用いて、リゾルベント展開における誤差項を制御する。
• Lindeberg条件を適用して、高次モーメントの収束と誤差項 $\delta_n(z) \to 0$ の一様性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. 要素を持つ $m$ 個の独立な大きな長方形ランダム行列の積の特異値の極限分布は何か？
• RQ2 個々の行列のアスペクト比 $y_l = \lim n/p_l$ は、漸近的分布にどのように影響するか？
• RQ3 Lindeberg条件のような一般的なモーメント条件のもとで、期待された経験的スペクトル分布の収束を確立できるか？
• RQ4 正方行列の場合に、極限分布とFuss-Catalan数の関係は何か？
• RQ5 一般の長方形行列積に対して、極限スペクトル分布のStieltjes変換を特徴づける決定的方程式は存在するか？

主な発見

• $n \to \infty$ のとき、二乗特異値の期待された経験的分布 $F_n(x)$ は極限分布 $G_{\mathbf{y}}(x)$ に弱収束する。
• $G_{\mathbf{y}}(x)$ のStieltjes変換 $s_{\mathbf{y}}(z)$ は代数的方程式 $1 + z s_{\mathbf{y}}(z) - s_{\mathbf{y}}(z) \prod_{l=1}^m (1 - y_l - z y_l s_{\mathbf{y}}(z)) = 0$ を満たす。
• 特別な場合 $y_1 = \cdots = y_m = 1$ において、$G_{\mathbf{y}}(x)$ のモーメントはFuss-Catalan数 $M_k = \frac{1}{mk+1} \binom{mk+k}{k}$ に等しい。
• Fuss-Catalanモーメントは再帰的関係 $M_k = \sum_{k_0 + \cdots + k_m = k-1} \prod_{\nu=0}^m M_{k_\nu}$ を満たす。
• 正方行列の場合のStieltjes変換は $1 + z s(z) + (-1)^{m+1} z^m s(z)^{m+1} = 0$ を満たす。
• Lindeberg条件のもとで、$F_n(x)$ から $G_{\mathbf{y}}(x)$ への収束は $x$ に関して一様であり、$\sup_x |F_n(x) - G_{\mathbf{y}}(x)| \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つ。