[論文レビュー] On the asymptotic expansion of maps with disconnected Julia set

Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非連結なジュリア集合をもつ1次元写像の漸近的展開を調査し、周期的ファトウ成分の境界上にある固定点付近で、最適な指数的収縮率が成立しないことを示している。全空間でより弱い一様な指数的減衰が成立することを証明し、すべての複素数的臨界点が実数である4次実係数多項式を構成した。この多項式の複素写像としての漸近的展開は、実写像としてのそれよりも厳密に小さいことが示された。

ABSTRACT

We study the asymptotic expansion of smooth one-dimensional maps. We give an example of an interval map for which the optimal shrinking of components exponential rate is not attained for any neighborhood of a certain fixed point in the boundary of a periodic Fatou component. We prove a general result asserting that, when this happens the components do shrink exponentially, although the rate is not the optimal one. Finally, we give an example of a polynomial with real coefficients, such that all its critical points in the complex plane are real, and such that its asymptotic expansion as a complex map is strictly smaller than its asymptotic expansion as a real map.

研究の動機と目的

• 滑らかな区間写像の非連結なジュリア集合における漸近的展開を分析し、特に前像成分の収縮率に注目する。
• 周期的ファトウ成分の境界上にある固定点付近で、漸近的展開における最適な指数的収縮率が達成されないことを示す。
• 正の下限リャプノフ指数を仮定するもとで、前像の一般化された一様な指数的減衰を確立する。
• 実係数ですべての臨界点が実数である多項式における、実写像と複素写像の間の漸近的展開の差異を調査する。
• 複素写像としての漸近的展開が実写像としてのそれよりも厳密に小さい多項式の明示的例を構成する。

提案手法

• 2パラメータ族の4次多項式を導入し、ファトウ成分の境界付近での収縮率の最適性に対する反例を構成する。
• ジュリア集合上での位相的厳密性と非退化条件を用い、良好な力学的性質と有限な臨界点集合を保証する。
• 背理法とコンパクト性を用いて、下限リャプノフ指数から導かれる境界を用いた、前像成分の一様な指数的減衰を証明する。
• 組合せ的および力学的推定を用いて、周期的ファトウ成分およびその境界付近での前像のサイズを制御する。
• ファトウ成分の構造とその繰り返し像を活用し、反復写像下での前像の直径に対する境界を導出する。
• 実係数ですべての臨界点が実数である特定の多項式を構成し、不変測度を用いて実空間と複素空間における漸近的展開を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ファトウ成分の境界上にある固定点を含む前像近傍において、前像成分の最適な指数的収縮率が達成可能か？
• RQ2 下限リャプノフ指数が正である区間写像に対して、最適な収縮率が達成されない場合でも、前像成分の一様な指数的減衰が全空間で成立するか？
• RQ3 実係数ですべての臨界点が実数である多項式が、複素写像としての漸近的展開が実写像としてのそれよりも厳密に小さい例を示せるか？
• RQ4 どのような力学的条件が、実多項式の実拡張と複素拡張における漸近的展開の差を引き起こすか？
• RQ5 周期的ファトウ成分の境界点の近傍を除外する仮定は、漸近的展開における最適収縮率を達成する上で必要か？

主な発見

• 非退化な滑らかな区間写像が存在し、非連結なジュリア集合と正の下限リャプノフ指数をもつが、周期的ファトウ成分の境界上にある固定点付近で最適な指数的収縮率が達成されない。
• 最適な収縮率が失敗しても、前像成分の一様な指数的減衰が全空間で成立する：ジュリア集合の任意の小さな近傍に対して、前像は定数 ≤ exp(χ_inf(f)) で指数的に収縮する。
• 前像近傍に周期的ファトウ成分の境界点が含まれる場合、一様減衰推定における定数 λ を exp(χ_inf(f)) に限りなく近づけることはできない。
• 実係数ですべての臨界点が実数である4次多項式が存在し、複素数上での不変測度における |DP| の下限は、実数上でのそれよりも厳密に小さい。
• これは、複素動的系としての写像の漸近的展開が、実動的系としてのそれよりも厳密に小さいことを示唆する。臨界点がすべて実数であっても成立する。
• この構成により、実空間と複素空間における漸近的展開が同等でないことが示され、実臨界点があるからといって、実領域と複素領域で同様の拡張挙動を示すという直観に反する。