[論文レビュー] On the asymptotic Plateau's problem for CMC hypersurfaces in hyperbolic space

Jaime Ripoll|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双曲空間における一定平均曲率（CMC）超曲面の漸近的プレートウ問題を、水平グラフの極限ケースにおける指定された漸近的境界データを持つ完全で適切に埋め込まれた CMC $ H $ 超曲面（$|H|<1$）の存在を示すことによって拡張する。キリンググラフにPerronの方法を適用することで、理想境界に沿った連続性を含め、存在を確立し、Guan-Spruckの径数グラフ結果を、漸近的データが無限遠の一点に収束する放物的（水平）ケースに一般化する。

ABSTRACT

It is extended a result due to B. Guan and J. Spruck on the asymptotic Plateau's problem for CMC radial graphs in hyperbolic space to horizontal CMC graphs.

研究の動機と目的

• 双曲空間におけるCMC超曲面の漸近的プレートウ問題を、径数グラフを超えて水平グラフの極限ケースに拡張すること。
• 漸近的境界データに無限遠の一点を含む完全で適切に埋め込まれたCMC $ H $ 超曲面（$|H|<1$）の存在を確立すること。
• キリンググラフにおけるCMC方程式にPerronの方法を適用することで、径数グラフと水平グラフの両方の存在証明を統一すること。
• Guan-Spruckの径数グラフに関する結果を、漸近的境界が無限遠の一点を含む放物的（水平）設定に一般化すること。

提案手法

• 双曲空間におけるキリンググラフのCMC方程式にPerronの方法を適用し、下界解と上界解を用いて解を構成する。
• 理想境界 $\partial_{\infty}\mathbb{H}^{n+1}$ の共形構造を用いて、星型条件を2点を通る円を含む幾何的制約に再定式化する。
• CMC超曲面と完全測地的部分多様体を用いた反復的降下法により、下界解 $\sigma_k$ と上界解 $w_k$ の列を構成する。
• 超曲面 $S$ を完全測地的 $\mathbb{H}^n$ 上のキリンググラフとして定義し、無限遠の点 $p$ で消えるキリング場 $Y$ の流れを用いる。
• 最大原理を用いて解の一意性を確立し、放物的ケースにおいてグラフ関数が $\partial_{\infty}\mathbb{H}^n \setminus \{p\}$ に連続に拡張されることを証明する。
• 論文[7]の定理1および定理2に依拠して、キリンググラフ上でのCMC PDEの解の存在を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲空間におけるCMC径数グラフの存在結果を、水平グラフの極限ケースに拡張できるか？
• RQ2 漸近的境界 $\Gamma \subset \partial_{\infty}\mathbb{H}^{n+1}$ にどのような幾何的条件が課されると、$|H|<1$ を満たす完全で適切に埋め込まれたCMC $ H $ 超曲面が存在するか？
• RQ3 径数グラフの場合の2点を定義する点が無限遠の一点に合体するとき、漸近的境界の挙動はどのように変化するか？
• RQ4 Perronの方法を水平CMCグラフの理想境界に沿った存在性と連続性を示すために適応できるか？

主な発見

• 半空間モデルにおける $\{x_1=0, x_{n+1}=0\}$ 上の有界な $C^0$ グラフ $\Gamma$ と任意の $|H|<1$ に対して、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内に完全で適切に埋め込まれたCMC $H$ 超曲面 $S$ が存在し、$\partial_{\infty}S = \Gamma \cup \{x_{n+1} = +\infty\}$ を満たす。
• 超曲面 $S$ は完全測地的超曲面 $\mathbb{H}^n = \{x_1 = 0\}$ 上の水平グラフであり、水平曲線を軌道とする放物的キリング場に対応する。
• 解関数 $u$ は $\partial_{\infty}\mathbb{H}^n \setminus \{p\}$ に連続に拡張可能であり、$p$ は水平曲線の流れに対応する無限遠の点である。
• Perronの方法を用いることで、存在証明が統一的かつ簡略化され、径数グラフと水平グラフの両ケースに同じ枠組みが適用可能である。
• 最大原理をキリンググラフ上のCMC方程式に適用することで、解の一意性が導かれる。
• Guan-Spruckの径数グラフ定理を、径数ケースの2点が無限遠の一点に合体する極限として一般化する。