[論文レビュー] On the asymptotical regularization with convex constraints for inverse problems

Min Zhong, Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形の不適切に設定された逆問題に対して、凸制約を用いた漸近的正則化を提案する。連続的な力学系を用いて時間に依存する流れによって解を正則化する。条件付き安定性およびp-凸性の仮定の下で収束性および収束速度を確立し、ODEのルンゲ＝クッタ離散化により新たな反復的手法を導出する。これには、ノイズのあるデータの極限において解に収束することが保証された明示的・陰的ランドウェーバ型スキームが含まれる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the asymptotical regularization with convex constraints for nonlinear ill-posed problems. The method allows to use non-smooth penalty terms, including the L1-like and the total variation-like penalty functionals, which are significant in reconstructing special features of solutions such as sparsity and piecewise constancy. Under certain conditions we give convergence properties of the methods. Moreover, we propose Runge-Kutta type methods to discrete the initial value problems to construct new type iterative regularization methods.

研究の動機と目的

• 非滑らかなペナルティ項（例：L1や全 variation）を伴う非線形逆問題のための連続的正則化フレームワークの構築。
• 凸性および条件付き安定性の仮定の下で、漸近的正則化法の収束性の確立。
• フレシェ微分のリプシッツ連続性およびホルダー型条件付き安定性の下での収束速度の導出。
• 連続的正則化フローの離散的類似物として、ルンゲ＝クッタ型反復手法の提案。
• 正則化パラメータ（終了時刻T）が不一致原理により選ばれることで、ノイズのあるデータ下でも安定性および解への収束が保証されることの確認。

提案手法

• 漸近的正則化を1階ODE系として定式化：dξδ/dt = -L(xδ(t))* (F(xδ(t)) - yδ)，ここでxδ(t) = ∇Θ*(ξδ(t))であり、初期条件は(ξδ(0), xδ(0)) = (ξ0, ∇Θ*(ξ0))である。
• 解の更新を部分微分を介して定義するため、ラジェンドル＝フェンヒェル共役Θ*を用い、L1や全 variation などの非滑らかペナルティを可能にする。
• ペナルティ汎関数Θにp-凸性を課すことにより、Θ*の強い凸性およびフレシェ微分可能性を保証し、安定性および収束解析を可能にする。
• 接線錐条件および条件付き安定性（ホルダー型）を適用し、ブレグマン距離を用いた収束速度を導出する。
• ODEをs段ルンゲ＝クッタ法で離散化し、明示的および陰的ランドウェーバ型反復スキームを含む反復スキームを導出する。
• 演算子G(ξ) = F′(∇Θ*(ξ))* (yδ - F(∇Θ*(ξ)))の局所リプシッツ連続性の下で、離散スキームが連続解に収束することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸的で非滑らかなペナルティ項（例：L1、全 variation）を伴う漸近的正則化が、非線形逆問題に対して厳密に分析可能か？
• RQ2 ノイズのあるデータ下で、条件付き安定性の仮定の下、連続的正則化経路が逆問題の解に収束するための条件は何か？
• RQ3 ソース条件の代わりに条件付き安定性仮定の下で、収束速度をどのように導出できるか？
• RQ4 ルンゲ＝クッタ法を用いて、連続ODEから安定かつ収束する反復的正則化スキームを構築可能か？
• RQ5 正則化プロセスにおける終了時刻Tの役割は何か？最適な収束を得るためにはどのように選択すべきか？

主な発見

• Θの弱下準連続性およびp-凸性の下で、T → ∞ のとき、漸近的正則化ODEの解xδ(T)はB2ρ(x0)内に逆問題の解に収束する。
• 条件付き安定性仮定DξΘ(x, x̄) ≤ RF ||F(x) - F(x̄)||ν（ν ∈ [p/2, p]）の下で、ブレグマン距離Dδ_ξδ(T*)Θ( x̄, xδ(T*)) ≤ RF(τ + 1)^ν δ^ν が確立され、収束速度が得られる。
• 収束速度はO(δ^ν)であり、ν ≥ p/2を満たし、より強い凸性（大きなp）およびより良い安定性定数の下で改善される。
• ODEのルンゲ＝クッタ離散化により、明示的および陰的ランドウェーバ型スキームを含む新たな反復的正則化手法が得られる。
• 演算子G(ξ) = F′(∇Θ*(ξ))* (yδ - F(∇Θ*(ξ)))の局所リプシッツ連続性の下で、ODEの解の存在および一意性が保証される。
• 連続解xδ(t)および残差||F(xδ(t)) - yδ||はtに関して連続であり、正則化経路の安定性および適切に定義された性質が保証される。