[論文レビュー] On the asymptotics of counting functions for Ahlfors regular sets

Dušan Pokorný, Marc Rauch|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、距離空間内のs正則（アーフォルス正則）集合Kに対して、ε-パッキング数などの数え上げ関数N(ε, K)を用いた極限limε→0+ ε^s N(ε, K)が存在するための条件を確立する。s-ツリーと呼ばれるツリー型構造を特徴付ける抽象的枠組みを導入することで、再生理論の技法を用いてこの極限の存在を証明し、自己相似集合のC1+α微分同相写像による像への応用を含め、一般の距離空間へのミンコフスキー可測性に関する結果の拡張がなされる。

ABSTRACT

In this paper we deal with the so-called Ahlfors regular sets (also known as $s$-regular sets) in metric spaces. First we show that those sets correspond to a certain class of tree-like structures. Building on this observation we then study the following question: under which conditions does the limit $\lim_{\varepsilon o 0+} \varepsilon^s N(\varepsilon,K)$ exist, where $K$ is an $s$-regular set and $N(\varepsilon,K)$ is for instance the $\varepsilon$-packing number of $K$?

研究の動機と目的

• 距離空間内のs正則集合Kに対して、limε→0+ ε^s N(ε, K)の存在を保証する十分条件を確立すること。
• s-ツリーと呼ばれる新しいツリー型構造を用いてs正則集合を特徴付けること。
• 自己相似集合に限らない一般の距離空間への再生理論に基づくミンコフスキー可測性に関する結果の拡張。
• α-ほぼ類似写像のクラスが、共形C1+α微分同相写像を含むことを示し、変換された自己相似集合への応用を可能にすること。
• パッキング、被覆、ミンコフスキー内容の漸近的性質を統一する抽象的枠組みを提供すること。

提案手法

• s-ツリーを、s正則集合を特徴付ける組合せ的構造として導入する。
• パッキング数、被覆数、ミンコフスキー内容数を含む一般の数え上げ関数C(ε, K)を定義する。
• s-ツリー枠組みに抽象的再生理論を適用し、ε → 0+におけるC(ε, K)の漸近的挙動を分析する。
• limε→0+ ε^s C(ε, K)が存在し、正かつ有限であるための条件を確立する。
• 双リプシッツ写像とホルダー連続性の理論を用いて、s-ツリーと幾何的構造との関係を確立する。
• 共形C1+α微分同相写像がs正則性とs-ツリー構造を保存することを示し、変換された集合への結果の拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間内のs正則集合Kに対して、limε→0+ ε^s N(ε, K)が存在するための条件は何か？
• RQ2 s正則集合の数え上げ関数の漸近的挙動は、ツリー型構造を用いて特徴付けられるか？
• RQ3 再生理論は、自己相似集合に限らない一般の距離空間にどのように適合可能か？
• RQ4 どのクラスの写像がs正則性およびlimε→0+ ε^s C(ε, K)の存在を保存するか？
• RQ5 自己相似集合に関する結果は、C1+α微分同相写像による像へどの程度拡張可能か？

主な発見

• s正則集合Kが、特定の正則性およびホルダー連続性条件を満たすs-ツリーを有する場合、極限limε→0+ ε^s N(ε, K)は存在し、正かつ有限である。
• s-ツリーの存在は、集合Kのs正則性と同値であり、s正則集合の組合せ的特徴付けを提供する。
• 抽象的再生理論枠組みは、パッキング数、被覆数、ミンコフスキー内容数を含む一般の数え上げ関数に適用可能である。
• α-ほぼ類似写像の下で、極限limε→0+ ε^s C(ε, K)は存在し、写像によって保存されるため、変換された自己相似集合への結果の拡張が可能である。
• 共形C1+α微分同相写像がα-ほぼ類似写像に属することを示し、非格子自己相似集合の像に対しても結果が適用可能である。
• 本稿では、α-ほぼ類似写像からs-ツリーを構成する手法を提供し、主定理を広範なフラクタル集合のクラスに適用可能にする。