[論文レビュー] On the Atiyah problem for the lamplighter groups

Łukasz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

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ひとこと要約

この論文は、ラムプライト群 Z₂ ≀ ℤ の整数群環の元におけるノヴィコフ＝シュービン不変量が無理数であることを示すことにより、ロットとルックの予想を反証した。さらに、任意の正の実数がこのような不変量として現れることを示し、Zₚ ≀ ℤ（p > 1）の整数群環上の行列の ℓ²-Betti 数が無理数になり得ることを示した。これにより、これらの群は無理数の ℓ²-Betti 数を生成する最も単純な既知の群であることが明らかになった。

ABSTRACT

We show that the Novikov-Shubin invariant of an element of the integral group ring of the lamplighter group Z_2 \wr Z can be irrational. This disproves a conjecture of Lott and Lueck. Furthermore we show that every positive real number is equal to the Novikov-Shubin invariant of some element of the real group ring of Z_2 \wr Z. Finally we show that the l2-Betti number of a matrix over the integral group ring of the group Z_p \wr Z, p>1, can be irrational, and so the groups Z_p \wr Z become the simplest known groups which give rise to irrational l2-Betti numbers.

研究の動機と目的

• ラムプライト群の群環の文脈におけるノヴィコフ＝シュービン不変量の性質を調査すること。
• ロットとルックが提唱した予想、すなわち Z₂ ≀ ℤ の整数群環の元におけるノヴィコフ＝シュービン不変量は必ず有理数であるという主張の妥当性を検証すること。
• Z₂ ≀ ℤ の実群環におけるノヴィコフ＝シュービン不変量の取り得る値の全範囲を特定すること。
• Zₚ ≀ ℤ（p > 1）の整数群環上の行列の ℓ²-Betti 数が無理数を取り得るかどうかを検討すること。
• 無理数の ℓ²-Betti 数を生成する最も単純な群を特定し、Zₚ ≀ ℤ がそのような群であることを立証すること。

提案手法

• Z₂ ≀ ℤ の整数群環に属する特定の元を構成し、それに関連するノヴィコフ＝シュービン不変量を分析すること。
• スペクトル理論および群作用素の解析的性質を用いて、スペクトル分布関数の原点近傍における成長率を評価すること。
• L²コホロジーおよび作用素代数の技術を応用し、群環上の行列の ℓ²-Betti 数を研究すること。
• Z₂ ≀ ℤ における結果を p > 1 に対する Zₚ ≀ ℤ に一般化し、無理数の ℓ²-Betti 数の存在を示すこと。
• 実群環内での構成的証明により、任意の正の実数がノヴィコフ＝シュービン不変量として実現可能であることを証明すること。
• ラムプライト群の自己同型的および可換性の性質を、スペクトル計算において活用するため、その被覆積構造を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z₂ ≀ ℤ の整数群環の元におけるノヴィコフ＝シュービン不変量が無理数になり得るか。これはロットとルックの予想に反するか。
• RQ2 任意の正の実数が、Z₂ ≀ ℤ の実群環の何らかの元のノヴィコフ＝シュービン不変量として達成可能か。
• RQ3 Zₚ ≀ ℤ（p > 1）の整数群環上の行列の ℓ²-Betti 数が無理数の値を取り得るか。
• RQ4 無理数の ℓ²-Betti 数を生成するグループの最小の複雑さは何か。
• RQ5 ラムプライト群 Zₚ ≀ ℤ は、無理数の ℓ²-Betti 数を示す最も単純な既知の群であるか。

主な発見

• Z₂ ≀ ℤ の整数群環の元におけるノヴィコフ＝シュービン不変量は無理数になり得る。これにより、ロットとルックの予想は反証された。
• 任意の正の実数が、Z₂ ≀ ℤ の実群環の何らかの元のノヴィコフ＝シュービン不変量として実現可能である。
• Zₚ ≀ ℤ（p > 1）の整数群環上の行列の ℓ²-Betti 数は無理数になり得る。
• Zₚ ≀ ℤ は、無理数の ℓ²-Betti 数を生成する最も単純な既知の群である。
• 結果として、無理数の ℓ²不変量は、極めて複雑な群に限られるのではなく、比較的単純な被覆積群においても生じることを示した。
• これらの発見により、特に L²理論および群環表現の文脈において、可換的および自己同型的群におけるスペクトル不変量の理解が拡張された。