[論文レビュー] On the automorphy of $l$-adic Galois representations with small residual image

Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 77

ひとこと要約

本稿は、CM体上の$l$-進ガロア表現の自動型上昇定理を、従来の「大きな」像の仮定に代えて、より弱い条件「適切な」像（adequate image）を導入することによって、$\mathrm{GL}_n$ に対して新たな自動型上昇定理を確立する。この手法は、ターラー＝ワイルズのパッチング技術を強化し、局所的変種問題を洗練させることで、従来の定理が失敗する、特に像が小さくまたは「大きな」像でない場合の自動型結果を得ることを可能にする。

ABSTRACT

We prove new automorphy lifting theorems for essentially conjugate self-dual Galois representations into $GL_n$. Existing theorems require that the residual representation have 'big' image, in a certain technical sense. Our theorems are based on a strengthening of the Taylor-Wiles method which allows one to weaken this hypothesis.

研究の動機と目的

• 「大きな」像条件という制限的な仮定を超えて、$\mathrm{GL}_n$ ガロア表現の自動型上昇定理を拡張すること。
• 従来の「大きな」像仮定を、依然としてターラー＝ワイルズのパッチング法を支援できるより柔軟な条件「適切な」像に弱める。
• 「適切な」像条件のもとで普遍変種環の有限性を証明し、潜在的自動型および重み変更への応用を可能にする。
• 最小および通常型の自動型上昇定理を一般化し、特にゲラッティの通常型の場合をより広い設定へと拡張すること。
• 普遍変種環に関する有限性結果を証明することで、将来のラングランズプログラムへの応用の技術的基盤を提供すること。

提案手法

• 「適切な」$\mathrm{GL}_n(k)$ の部分群の概念を導入し、これは「大きな」ものより弱い条件であり、依然としてターラー＝ワイルズのパッチング法を支える。
• $l$ 上の素因数における新しい局所的変種問題を定義し、従来の研究と比較してより一般な分岐型を許容する。
• 「適切な」像仮定のもとでターラー＝ワイルズ系の存在を用いて、ターラー＝ワイルズ法におけるパッチング函手を構成する。
• 特に Iwahori 固定ベクトルを用いた、$\ell$-進 $\mathrm{GL}_n$ の滑らかな表現論を用いた、自動型側での局所的計算を行う。
• patched eigenvariety 法を用いてヘッケ加群を構成し、ガロア変種と自動型形式を結びつける。
• 「適切な」像条件のもとで、可解なCM拡張へのベースチェンジを用いて、普遍変種環 $R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}}$ の有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_n$ ガロア表現の自動型上昇定理は、残余像が「大きな」ものでない場合にも拡張可能か？
• RQ2 ターラー＝ワイルズのパッチング法が成功するための、残余像の最小条件は何か？
• RQ3 通常型および最小型の自動型上昇定理は、元の仮定を超えて一般化可能か？
• RQ4 普遍変種環 $R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}}$ が $\mathcal{O}$ 上で有限になる条件は何か？
• RQ5 「適切な」条件は、例えば $l \geq 2(n+1)$ における絶対的単純な表現の典型的な状況で満たされるか？

主な発見

• 本稿では、残余ガロア表現の像が「適切な」ものであり、かつ $\zeta_l \not\in F$ であるならば、普遍変種環 $R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}}$ が $\mathcal{O}$-加群として有限であることを証明している。
• $n$ 次元の絶対的単純な表現が特徴標数 $l \geq 2(n+1)$ においては、その像は「適切な」ものであるため、新しい定理は多くの自然な状況に適用可能である。
• 「適切な」像条件のもとで、$R = \mathbb{T}$ が未知であっても、最小自動型上昇定理が確立される。
• 通常型自動型上昇定理は、新しい変種条件を用いて、重み変更を許容する形に拡張されている。
• $R^\mathrm{univ}_{\mathcal{S}}$ の有限性は、可解なCM拡張 $M/F$ へのベースチェンジにより証明され、この拡張では変種問題がより取り扱いやすくなる。
• 「適切な」像条件のもとでのターラー＝ワイルズ系の構成は、特定のフロベニウスおよび分岐性質を制御する補助的素数の存在に依存している。