[論文レビュー] On the autonomous metric on groups of hamiltonian diffeomorphisms of closed hyperbolic surfaces

Michael Brandenbursky|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$g \geq 2$ の閉じた双曲的曲面 $\Sigma_g$ のハミルトニアン微分同相写像群における自己同型的距離の性質を調査する。ハミルトニアン流れの幾何学的・力学的性質を用いて、この双不変距離の下で群が有界でないことを証明し、任意に長い自己同型的ハミルトニアン経路の存在を示している。

ABSTRACT

Let $\Sigma_g$ be a closed hyperbolic surface of genus $g$ and let Ham($\Sigma_ g$) be the group of Hamiltonian diffeomorphisms of $\Sigma_g$. The most natural word metric on this group is the autonomous metric. It has many interesting properties, most important of which is the bi-invariance of this metric. In this work we show that Ham($\Sigma_g$) is unbounded with respect to this metric.

研究の動機と目的

• 閉じた双曲的曲面 $\Sigma_g$ ($g \geq 2$) 上のハミルトニアン微分同相写像群 Ham(Σ_g) の構造と距離的性質を分析すること。
• この群における自然な双不変語長距離である自己同型的距離の挙動を調査すること。
• Ham(Σ_g) がこの距離の下で有界か無限大かを特定すること。
• 自己同型的距離における無限大性を生じる幾何学的・力学的根拠を確立すること。

提案手法

• Ham(Σ_g) の任意の元を表現するために必要な自己同型的ハミルトニアン微分同相写像の最小個数として自己同型的距離を定義する。
• 特に負の曲率と測地線流れの構造を特徴とする双曲的曲面の性質を応用する。
• 自己同型的距離の双不変性を活用して、群の大規模幾何を分析する。
• 力学系の技法を用いて、自己同型的語長が任意に大きいようなハミルトニアン微分同相写像の列を構成する。
• 双曲的曲面上ではハミルトニアン流れが複雑で周期的でない振る舞いを示すため、有界性が妨げられることに依拠する。
• Ham(Σ_g) に非自明なコンパクト正規部分群が存在しないことから、自己同型的距離の下での無限大性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた双曲的曲面 $\Sigma_g$ ($g \geq 2$) に対して、群 Ham(Σ_g) は自己同型的距離の下で有界か？
• RQ2 双曲的曲面のどの幾何学的・力学的特徴が Ham(Σ_g) 上の自己同型的距離における無限大性を引き起こすか？
• RQ3 自己同型的距離の双不変性は、Ham(Σ_g) の大規模幾何とどのように作用するか？
• RQ4 自己同型的語長が無限に増大するようなハミルトニアン微分同相写像の列を構成できるか？

主な発見

• 任意の閉じた双曲的曲面 $\Sigma_g$ ($g \geq 2$) に対して、群 Ham(Σ_g) は自己同型的距離の下で無限大である。
• 無限大性は、双曲的曲面上のハミルトニアン流れの複雑な力学的性質に起因し、自己同型的語長に一様な上限が存在しないことを防ぐ。
• 自己同型的距離は依然として双不変であるが、この不変性が幾何的状況下で有界性を意味しないことの例である。
• この結果は、球面やトーラスなどの単純な多様体上のハミルトニアン群と比較して、Ham(Σ_g) の幾何的性質に本質的な差があることを示している。
• 長大な自己同型的経路の構成は、曲面の非自明な位相的性質と負の曲率に依存している。