[論文レビュー] On the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the torus

Michael Brandenbursky, Jarek Kędra+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラスのハミルトニアン微分同相群における自己同型ノルムが有界でないことを、任意に大きな自己同型ノルムを持つハミルトニアン微分同相の明示的例を構成することで証明する。著者らはバーナード群作用を用いて群上にクーリエモーフィズムを定義し、その非自明性とカラビ性を証明することで、リプシッツ制御を介してノルムの無限大性を示す。

ABSTRACT

We prove that the autonomous norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the two-dimensional torus is unbounded. We provide explicit examples of Hamiltonian diffeomorphisms with arbitrarily large autonomous norm. For the proofs we construct quasimorphisms on $Ham(T^2)$ and some of them are Calabi.

研究の動機と目的

• 2次元トーラスのハミルトニアン微分同相群における自己同型ノルムが有界か無限大かという未解決問題を解消すること。
• 自己同型微分同相に有界な非自明なクーリエモーフィズムを Ham(T²) 上に構成することにより、自己同型ノルムの無限大性を示すこと。
• バーナード群表現と回文語条件を用いて、Ham(T²) 上にカラビクーリエモーフィズムの存在を確立すること。
• 任意に大きな自己同型ノルムを持つハミルトニアン微分同相の明示的例を構成すること。

提案手法

• Gambaudo-Ghys型の構成を用いて、純バーナード群 P₂(T²) 上の同次クーリエモーフィズムから Ham(T²) 上のクーリエモーフィズムへの線形写像を構成する。
• トーラス上に2点の配置空間の基本群を用い、自由群 F₂ と関連づけ、語路のネット回転差を数えるクーリエモーフィズム ξ を F₂ 上に定義する。
• クーリエモーフィズム ξ が回文語上で消えることを証明し、これによりその均質化が P₂(T²) 上に一意に定義されたクーリエモーフィズムへと降下できることを示す。
• 誘導された Ham(T²) 上のクーリエモーフィズムが非自明であり、カラビ性を有することを、可動可能球上でカラビホモモーフィズムと一致することを確認することで証明する。
• 回文語上で消える F₂ 上のクーリエモーフィズムから Ham(T²) 上のクーリエモーフィズムへの合成写像が単射であることを確立し、非自明性を保証する。
• 生成集合上で有界な任意のクーリエモーフィズムに関して自己同型ノルムがリプシッツ的であるという事実を用い、構成されたクーリエモーフィズムにこれを適用することで、無限大性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラスのハミルトニアン微分同相群における自己同型ノルムは有界か、無限大か？
• RQ2 トーラス上に2点の配置空間におけるバーナード群作用を用いて、Ham(T²) 上に非自明なクーリエモーフィズムを構成できるか？
• RQ3 これらのクーリエモーフィズムのうち、カラビ性（すなわち、シンプレクティック球上でカラビホモモーフィズムと一致する性質）を有するものがあるか？
• RQ4 任意に大きな自己同型ノルムを持つハミルトニアン微分同相の明示的例を構成できるか？
• RQ5 純バーナード群から Ham(T²) へのクーリエモーフィズムの構成写像の核は、単に準同型のみからなるか？

主な発見

• 自己同型ノルムが有界でないことが、非自明かつ自己同型ノルムに関してリプシッツ的なクーリエモーフィズムの構成によって証明された。
• 任意に大きな自己同型ノルムを持つハミルトニアン微分同相の明示的例が、F₂ 上のスネーククーリエモーフィズムを用いて構成された。
• トーラス平面上の語路におけるネット回転差を数えることで定義されるクーリエモーフィズムは無限大であり、回文語上で消えるため、その均質化が可能である。
• 誘導された Ham(T²) 上のクーリエモーフィズムは非自明であり、カラビ性を有する。これは、可動可能シンプレクティック球上でカラビホモモーフィズムと一致することから示される。
• F₂ 上の回文語上で消えるクーリエモーフィズムから Ham(T²) 上のクーリエモーフィズムへの合成写像は単射であり、構成の非自明性が保証される。
• スネーククーリエモーフィズムは ξ([a,b]^n) = 4n - 1 を満たすため、その均質化は交換子 [a,b] に対して値 4 をとる。これにより非自明性が確認される。